¿Resistencia de un gráfico totalmente conectado?

El caso de igual resistencia

En el caso de que todas las resistencias sean iguales (llámelo \ $ R \ $), la solución es sencilla. Sin pérdida de generalidad, podemos etiquetar los dos nodos que medimos como nodo 1 y nodo 2. Consideramos un voltaje aplicado entre los dos nodos. Podemos volver a dibujar el gráfico con los nodos de entrada y salida separados, y los demás en una línea:

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

Aquí he omitido muchas resistencias que unen los nodos 3 con n entre sí. Sin embargo, por simetría, debería ser obvio que los nodos 3 a n tienen todos el mismo potencial, por lo que no fluye corriente entre ellos y las resistencias que los unen son irrelevantes. Ahora debería ser obvio que la resistencia entre el Nodo 0 y el Nodo 1 es la combinación paralela de las instancias R y N-2 de dos resistencias en serie. Así, la resistencia total es:

\ $ R_ {1,2} = \ left (\ frac {1} {R} + \ frac {(n-2)} {2R} \ right) ^ {- 1} = \ frac {2R} {n} \ $

El caso de resistencia arbitraria

No hay (por lo que sé) ninguna solución simple. Debe asumir cierto voltaje entre los nodos de interés y luego escribir la ley de ohmios para cada resistencia en el gráfico y las ecuaciones de conservación actuales para cada nodo. Para una gráfica con \ $ n \ $ nodos, obtendrá \ $ n \ $ ecuaciones de conservación actuales y \ $ n ^ 2 \ $ ecuaciones de resistencia. Ahora tiene \ $ n ^ 2 + n \ $ ecuaciones, y las \ $ n ^ 2 + n-1 \ $ incógnitas, por lo que puede resolver el sistema de ecuaciones lineales. Esto puede llevar bastante tiempo.

¿Análisis de voltaje del nodo? Haz una ecuación para cada nodo de modo que todas las corrientes fluyan en total 0. Resuelve el conjunto de ecuaciones lineales simultáneas.

No creo que pueda haber una solución analítica general única. Con n nodos, tendrá n / 2 o (n-1) / 2 resistencias posibles según la simetría que forma una solución discontinua. Entonces tendrías al menos dos conjuntos de ecuaciones para números pares e impares. Más a medida que navegas por la periferia. Y eso es para todas las resistencias siendo iguales. Si las resistencias son arbitrarias, el número de discontinuidades aumenta para cada resistencia diferente. Esto hace que todo sea totalmente difícil de manejar.

El mejor enfoque es considerar que todas las resistencias son iguales y usar una simulación numérica. Es bastante fácil entonces.

1. Simula 4 nodos con tu simulador favorito.
2. nodo de tierra 0.
3. Aplique voltaje a cada nodo que recorre la periferia hasta llegar al punto simétrico, dependiendo de la uniformidad. Entonces para n = 4, mida n01 actual y n02.
4. Calcular la resistencia equivalente.
5. Graficar nx total a lo largo del eje x.
6. Grafica la resistencia a lo largo del eje y.
7. Ajustar numéricamente una curva a los resultados para n = 4.
8. Repetir y repetir para los 4 < n < 16. Creo que para n > 15 resultados se vuelven asintóticos.
9. Gráfico de colores a gusto.

Así que tendrás 12 curvas. También puedes convertir este gráfico a 3D, pero obviamente no podrías formar una superficie continua. Esta es tu mejor manera de avanzar. Se puede ver que todo esto es engorroso. Ahora imagina esto extendido para múltiples resistencias arbitrarias. Usted no podría detenerse en n = 15 tampoco. Tu ejercicio original se vuelve inviable.

PS. He excluido n = 2 como trivial y n = 3 tan atípico ya que no hay resistencias que pasen por el interior del casco.