Determine si el siguiente sistema es invariante en el tiempo o no:
\ $ y (t) = x (t) sin 10 \ pi t \ $
Solución:
Dado: \ $ y (t) = x (t) sin 10 \ pi t \ $
\ $ y (t) = T [x (t)] = x (t) sin 10 \ pi t \ $
La salida debida a la entrada retrasada en $ T $ seg es:
\ $ y (t, T) = T [x (tT)] = y (t) | _ {x (t) = x (tT)} = x (tT) sin 10 \ pi t \ $
La salida retrasada por T seg es:
\ $ y (t-T) = y (t) | _ {t = t-T} = x (t-T) sin 10 \ pi (t-T) \ $
\ $ y (t, T) \ ne y (t-T) \ $
Conclusión: La salida retrasada no es igual a la salida debido a la entrada retrasada. Por lo tanto, el sistema es invariante en el tiempo.
Mi consulta / duda:
Cuando la salida se demora por T seg:
\ $ y (t-T) = y (t) | _ {t = t-T} = x (t-T) sin 10 \ pi (t-T) = x (t-T) sin (10 \ pi t-10 \ pi T) \ $
En el caso de que el valor de \ $ T \ $ sea \ $ \ frac {2n} {10} \ $; \ $ n \ ge 0 \ $, entonces la ecuación anterior se vuelve igual a \ $ y (t, T) \ $
es decir,
\ $ y (t, T) = y (t-T) \ $, cuando \ $ T = \ frac {2n} {10} \ $; \ $ n \ ge 0 \ $
Entonces, podemos decir que el sistema es invariante en el tiempo cuando \ $ T = \ frac {2n} {10} \ $; \ $ n \ ge 0 \ $?