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Si solo está buscando la configuración correcta, es probable que pueda obtener una estimación aproximada de los polos y los cero en el circuito. Si calcula correctamente, su primer circuito lleva a:
$$ TF (s) = \ frac {R_2C_1s} {1+ (R_1 + R_2) C_1s + L_1C_1s ^ 2} $$
Para el segundo circuito:
$$ TF (s) = \ frac {R_2C_1s (R_1 + L_1s)} {R_1 + (C_1R_1R_2 + L_1) s + (R_1 + R_2) C_1L_1s ^ 2} $$
El segundo circuito tiene un cero extra. Si este cero está ausente, el primer circuito es el que desea.
Si además desea encontrar los coeficientes de la función de transferencia, tendrá que trabajar un poco más. Técnicamente no es difícil si tiene un software numérico disponible (por ejemplo, Matlab), pero es mucho más difícil llegar hasta allí.
Dada una función de transferencia racional:
$$ \ hat H (j \ omega) = \ frac {\ sum_ {i = 0} ^ mb_i (j \ omega) ^ i} {\ sum_ {k = 0} ^ na_k (j \ omega) ^ k} = \ frac {B (j \ omega)} {A (j \ omega)} $$
Donde elegimos \ $ a_0 = 1 \ $ (normalización). Podemos comparar nuestro modelo con los datos medidos (posiblemente ruidosos) para encontrar el error que estamos cometiendo. Tomamos unos pocos puntos de frecuencia \ $ \ omega_i \ $, y medimos la respuesta de frecuencia \ $ H_i \ $. El error que comete nuestro modelo puede estimarse utilizando la expresión:
$$ e_i = \ lVert B (j \ omega_i) - A (j \ omega_i) H_i \ rVert ^ 2 $$
$$ e_ {tot} = \ sum_i e_i = \ sum_i \ lVert B (j \ omega_i) - A (j \ omega_i) H_i \ rVert ^ 2 $$
Nuestro trabajo es minimizar este error seleccionando \ $ a_n \ $ y \ $ b_m \ $ cuidadosamente. Esto puede calcularse calculando las derivadas parciales a \ $ a_n \ $ y \ $ b_m \ $, que deben ser igual a 0.
Entonces, para su caso :
- Construya la matriz \ $ H \ $ con todas sus medidas:
$$ H = \ left [\ begin {matrix} H_1 \\ H_2 \\ \ vdots \\ H_N \ end {matrix} \ right] $$
- Construya la matriz \ $ U \ $, que puede calcular estimaciones multiplicando con los parámetros desconocidos \ $ \ theta \ $:
$$ U = \ left [\ begin {matrix}
-j \ omega_1 H_1 & - (j \ omega_1) ^ 2 H_1 & 1 & j \ omega_1 & (j \ omega_1) ^ 2 \\
-j \ omega_2 H_2 & - (j \ omega_2) ^ 2 H_2 & 1 & j \ omega_2 & (j \ omega_2) ^ 2 \\
\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\
-j \ omega_N H_N & - (j \ omega_N) ^ 2 H_N & 1 & j \ omega_N & (j \ omega_N) ^ 2
\ end {matrix} \ right]
$$
- Calcule la mejor estimación con el error de mínimos cuadrados: \ $ \ hat \ theta \ $.
$$ \ hat \ theta = (\ Re \ {U ^ * \ cdot U \}) ^ {- 1} \ cdot \ Re \ {U ^ * \ cdot H \} $$
Donde
$$ \ hat \ theta = \ left [\ begin {matrix} a_1 \\ a_2 \\ b_0 \\ b_1 \\ b_2 \ end {matrix} \ right] $$
(\ $ \ Re \ $ significa parte real , \ $ \ ^ * \ $ significa conjugado )
que puede conectar la función de transferencia:
$$ H (s) = \ frac {b_0 + b_1s + b_2s ^ 2} {1 + a_1s + b_2s ^ 2} $$
Si está interesado en cómo llegar allí: marque aquí
Estos coeficientes se pueden usar para encontrar los valores de sus componentes.
Midiendo la respuesta de frecuencia
El barrido de la frecuencia puede funcionar, pero no siempre es una buena idea, ya que siempre hay que esperar a que desaparezcan los transitorios. Otra forma es agrupar todas las frecuencias al mismo tiempo, en cuyo caso solo tiene que esperar una vez para que desaparezcan todos los transitorios.
Si elige una señal de excitación de múltiples senos de fase aleatoria, puede medir la entrada y la salida a la misma frecuencia de muestreo y simplemente dividir el espectro de salida por el espectro de entrada. Por favor, tenga cuidado de evitar aliasing , por ejemplo. aunque por un filtro AA.
Funcióndetransferencia2