definiciones

\ $ x (t) \ $ es una función del tiempo. Físicamente, puede ser voltaje, desplazamiento, magnetización y así sucesivamente. Puede ser real, complejo, vectores o más números sofisticados.

\ $ C (t) \ $ es la función de correlación automática de \ $ x (t) \ $, definida como:

$$ C (t) = \ langle x (t) x ^ * (0) \ rangle: = \ lim_ {T \ rightarrow \ infty} \ frac {1} {T} \ int_0 ^ T x (t '+ t) x ^ * (t') dt '\ tag {1} $$

\ $ I (\ omega) \ $ es el espectro de \ $ x (t) \ $, es la transformación de Fourier de \ $ C (t) \ $, o es el cuadrado de la transformación de Fourier de \ $ x (t) \ $. Estas dos definiciones son equivalentes (aplique el teorema de convolución): $$ I (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} C (t) e ^ {- i \ omega t} dt \ tag {2} $$

$$ Yo (\ omega) = \ begin {vmatrix} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x (t) e ^ {- i \ omega t} dt \ end {vmatrix} ^ 2 \ tag {3} $$

no-negatividad de \ $ I (\ omega) \ $

Podemos mostrar que, el espectro no es negativo: $$ Yo (\ omega) = \ begin {vmatrix} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x (t) e ^ {- i \ omega t} dt \ end {vmatrix} ^ 2 \ geqslant 0 $$ Y físicamente tiene sentido, porque \ $ I (\ omega) \ $ significa la densidad de energía dentro del rango de frecuencia \ $ [\ omega, \ omega + d \ omega) \ $.

La densidad de energía no debería ser negativa.

Pregunta (1): ¿qué función \ $ C (t) \ $ hace que su transformada de Fourier \ $ I (\ omega) \ $ no sea negativa?

En la práctica, la ecuación de definición (2) se usa en lugar de la ecuación (3).

\ $ C (t) \ $ es la transformación inversa de Fourier de la función no negativa \ $ I (\ omega) \ $.

Conozco una ley básica como esta: $$ \ text {FT} [real, par] = real, par $$ $$ \ text {FT} [real, impar] = imag, impar $$

No tengo idea de qué debería ser \ $ C (t) \ $? $$ \ text {FT} [???] = real, no \ negativo $$ Comprender la clase de función de \ $ C (t) \ $ podría ayudarnos a resolver la Pregunta (2) , porque más adelante verás que estoy haciendo una transformación a \ $ C (t) \ $ (esencialmente es una discretización), luego realice la transformada de Fourier. Esta transformación de discretización puede quitar \ $ C (t) \ $ de esa clase, por lo tanto, \ $ I (\ omega) \ $ ya no es no negativo.

sutileza en números: \ $ I (\ omega) \ $ ya no es negativo!

En los cálculos numéricos, las cosas se vuelven finitas y discretas .

La ecuación (2) se modifica a su versión numérica:

$$ \ int \ xrightarrow {\ text {numerics}} \ sum $$ $$ \ qquad \ quad t \ xrightarrow {\ text {numerics}} t_i \ quad i = 0,1,2, \ cdots, L $$

$$ \ qquad \ quad \ omega \ xrightarrow {\ text {numerics}} \ omega_n \ quad n = 0,1,2, \ cdots, L $$ O, una forma alternativa de entender los valores numéricos es mantener la integración continua, pero muestrea la función \ $ C (t) \ $ de manera discreta y finita: $$ C (t) \ xrightarrow {numerics} C (t) \ times \ sum_ {i = 0} ^ {L-1} \ delta (t-t_i) $$

Bajo este cambio, \ $ I (\ omega) \ $ ya no es negativo.

Hice algunos experimentos, el valor negativo de \ $ I (\ omega) \ $ puede ser tan grande como el 10% del valor máximo positivo de \ $ I (\ omega) \ $. La adición de la función de ventana mejora las cosas, pero aún tiene una densidad de espectro negativa del 0,1%.

Solo en algunos casos proporcionales, \ $ I (\ omega) \ $ no es negativo.

Pregunta (2): ¿hay alguna forma natural de hacer \ $ I (\ omega) \ $ no negativo, en números?

Encuentro que agregar valor absoluto podría ayudar $$ I (\ omega) \ rightarrow | I (\ omega) | $$ pero no veo ninguna razón, como la conservación de energía, etc.

Entonces, ¿hay una forma natural, para generar densidad de espectro no negativa, en números?