Anotar los resultados de los productos de convolución
$$ (h * u) (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} h (t - v) \ cdot u (v) dv $$
Las partes del dominio que nos interesan son:
$$ t-v \ ge 0 \ Rightarrow v \ leq t $$ para \ $ h (t-v) \ $
$$ 0 \ leq v \ leq 1 $$ para \ $ u (v) \ $
Entonces podemos encontrar que para \ $ 0 \ leq t \ leq 1 \ $:
$$ \ begin {align}
(h * u) (t) & = \ int_0 ^ th (t - v) \ cdot u (v) dv \\
& = \ int_0 ^ t e ^ {- (t-v)} (1-v) dv \\
& = e ^ {- t} \ left (\ int_0 ^ te ^ vdv - \ int_0 ^ tve ^ vdv \ right)
\ end {align} $$
Resolver la primera integral es bastante fácil:
$$ \ int_0 ^ te ^ vdv = \ left [e ^ v \ right] _0 ^ t = e ^ t - 1 $$
Resolver la segunda integral requiere integración por partes:
$$ \ begin {align}
\ int_0 ^ tve ^ vdv & = \ int_0 ^ tvd (e ^ v) \\
& = \ left [v \ cdot e ^ v \ right] _0 ^ t - \ int_0 ^ tve ^ vdv
\ end {align} $$
A medida que obtiene la misma integración que antes, puede escribir:
$$ \ begin {align}
I & = \ left [v \ cdot e ^ v \ right] _0 ^ t - I \\
\ Rightarrow 2I & = \ left [v \ cdot e ^ v \ right] _0 ^ t \\
\ Rightarrow I & = \ frac {[v \ cdot e ^ v] _0 ^ t} {2} = \ frac {te ^ t} {2}
\ end {align} $$
Conectándolo todo en rendimientos:
$$
\ begin {align}
y (t) & = e ^ {- t} \ left (e ^ t - 1 - \ frac {te ^ t} {2} \ right) \\
& = 1 - e ^ {- t} - \ frac {t} {2}
\ end {align} $$
Esta respuesta está desactivada por un factor 2, pero se parece a la respuesta dada. No veo dónde me equivoqué.
Para \ $ t \ geq 1 \ $, puede escribir
$$
\ begin {align}
y (t) & = \ int_0 ^ 1h (t-v) u (v) dv \\
& = e ^ {- t} \ left (e - 1 - \ frac {e} {2} \ right) \\
& = \ frac {e ^ {1-t}} {2} - e ^ {- t}
\ end {align} $$
Esto está nuevamente desactivado por el mismo factor de 2 en comparación con tu referencia.