La respuesta de Andy es buena, pero puede generalizarse. Para la función de transferencia:
$$ H (s) = \ frac {2 \ zeta \ omega_n s} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_n s + \ omega_n ^ 2} $$
el Laplace inverso para los tres casos mencionados tiene el mismo término de descomposición exponencial en ellos:
$$ exp (- \ zeta \ omega_n t) $$
Ese será el sobre de toda la respuesta. El resto de la respuesta de tiempo es de la forma \ $ \ sin {t} + \ cos {t} \ $ (oscilante, por debajo de la marca), o \ $ \ sinh {t} + \ cosh {t} \ $ ( para overdamped), o un término fijo en función del tiempo, que involucra \ $ \ omega_n \ $ y \ $ \ zeta \ $.
Si realmente los quieres en su totalidad, aquí están:
$$ h (t) = \ exp (- \ omega_n \ zeta t) \ left [2 \ omega_n \ zeta \ cosh (\ sqrt {\ zeta ^ 2-1} \ omega_nt) - \ frac {2 \ omega_n \ zeta ^ 2 \ sinh (\ sqrt {\ zeta ^ 2-1} \ omega_nt)} {\ sqrt {\ zeta ^ 2-1}} \ right] $$
$$ h (t) = \ exp (- \ omega_n \ zeta t) \ left [2 \ omega_n \ zeta (1- \ omega_n \ zeta t) \ right] $$
$$ h (t) = \ exp (- \ omega_n \ zeta t) \ left [2 \ omega_n \ zeta \ cos (\ sqrt {1- \ zeta ^ 2} \ omega_nt) - \ frac {2 \ omega_n \ zeta ^ 2 \ sin (\ sqrt {1- \ zeta ^ 2} \ omega_nt)} {\ sqrt {1- \ zeta ^ 2}} \ right] $$
Si necesita encontrar la hora en que el sobre (solo) alcance un cierto valor x, entonces es tan simple como:
$$ \ exp (- \ omega_n \ zeta t) = x = > - \ omega_n \ zeta t = \ log x = > t = - \ frac {\ log x} {\ omega_n \ zeta} $$
Actualización: Esto solo es válido para el caso underdamped , ya que hay un caso claro de un término oscilante - cos () - sin () - multiplicado Por un exponencial inverso. Para los otros dos casos, es imposible hacerlo analíticamente, ya que el tiempo, t, está en más de un término, y ese término no es oscilante, sino que es linealmente variable (amortiguado críticamente) o exponencial (sobredimensionado), así que simplificación no es posible. También vea el último párrafo.
No olvide que, en los tres casos, hay un término adicional que se puede eliminar: \ $ 2 \ omega_n \ zeta \ $, que da la amplitud de la decadencia inicial.
Tenga en cuenta que \ $ \ omega_n \ $ allí, lo que le indica que cuanto mayor sea la frecuencia, mayor será la amplitud (!). Esto se relaciona con un impulso que tiene un área de 1 (por ejemplo, para un impulso de 1 ms, la amplitud es 1000). Si desea considerar solo un impulso de amplitud de unidad, de duración cero (Dirac de amplitud de unidad), se puede omitir (descartar) el término adicional.
Caveat emptor : la forma de la descomposición no corresponderá al resultado final en el caso de \ $ \ zeta \ $ > 1, debido a la hiperbólica funciones! Si el término sinh () hubiera sido igual que el término cosh (), la expresión completa se habría reducido a exp (-t), pero sinh () se multiplicará por \ $ \ frac {\ zeta} {\ sqrt {\ zeta ^ 2-1}} \ $, lo que significa que todo el término cosh () - sinh () "explotará" si fuera todo por sí mismo. Al ser multiplicado por el exp () en el frente, se limita la respuesta, pero el sobre ya no es el mismo (al contrario que en el caso de los que no se han marcado bien). Esto es lo que quiero decir:
G1,G2,G3juntoconC1,C2formanelfiltrodepasodebandaquetieneV(o)comosalida.V(exp)eslacaídaexponencial(juntoconeltérmino\$\omega_n\zetat\$,veaRpar=2*z*wnenB1),V(sinh_cosh)eseltérminocosh()-sinh(),V(test)eslamultiplicacióndelosdosanteriores,encomparaciónconV(o)enelgráficomásbajo(sonlosmismos).Lasdosgráficassuperioresmuestranlasrespuestasindividualesdelaenvolturaydeltérminohiperbólico;estoesloquequisedecircuandodijeque"explota", va a \ $ - \ infty \ $. Y aquí es por qué dije que el sobre no coincidirá con la respuesta, solo por sí mismo, debido al término hiperbólico:
Ni la salida (traza azul), ni su valor absoluto (negro) coincidirán solo con la envolvente (rojo). Lo que significa que la solución anterior no funcionará, y se debe considerar toda la expresión de la respuesta al impulso, lo que significa que, lamentablemente, no hay suerte, ya que la expresión contiene el tiempo, t, tanto en el sobre como en El término hiperbólico. Incluso si tuviera que igualar esto con sus equivalentes, cosh = [exp (-x) + exp (-x)] / 2 (menos para sinh), no puede aplicar un logaritmo a cada exp (), solo como un todo, lo que significa que el tiempo no se puede extraer analíticamente, por lo que está atado a métodos numéricos.
