Mientras intentaba desconectar el cable, saqué la parte negra, que salía por el lado opuesto a donde el cable entra en el conector.
El cable se sujetó firmemente en su lugar y se soltó después de que salió la parte negra.
¿Cómo vuelvo a conectar el cable o el conector está roto permanentemente?
¿Hay un nombre para este conector en particular? Parece que hay algunos nombres, como zif, etc. pero estoy bastante seguro de que el mío no es zif. 
Simplemente vaya al sitio del distribuidor y busque una pieza de repuesto. Si desea reemplazarlo, su conector puede ser de tipo con tapa hacia atrás o con tapa. Cuente los números de pin y mida el tono para asegurarse de obtener el correcto.
O si está buscando una solución rápida, puede intentar insertar el cable en la ranura, asegurarse de que sea firme y luego usar una cinta kapton para sujetar el cable a la superficie de la PCB. He hecho esto cuando no podemos esperar una pieza de reemplazo.