A) Derive la expresión para \ $ \ mathcal {H} (s) \ $ donde \ $ \ mathcal {H} (s) = \ frac {V_o} {V_i} \ $
Comencé usando el divisor de voltaje en el nodo \ $ V_ {out} \ $ .
\ $ V_o = \ frac {R} {R_c + \ frac {1} {sc} + R} \ \ cdot V_i \ tag1 \ $
B) ¿A qué frecuencia será máxima la magnitud de \ $ H (j \ omega) \ $ ?
La respuesta de frecuencia del sistema es la siguiente
\ $ \ mathcal {H} (s) = \ frac {CRS} {CRS + CR_CS + 1} = \ frac {RCS} {(R + R_C) CS + 1} = \ frac {\ frac {R} {R + R_C} S} {S + \ frac {1} {(R + R_C) C}} \ tag2 \ $
\ $ \ mathcal {H} (j \ omega) = \ frac {\ frac {R} {R + R_C} j \ omega} {j \ omega + \ frac { 1} {(R + R_C) C}} \ tag3 \ $
La magnitud será máxima cuando la frecuencia sea infinita. Esto se debe a que cuando la frecuencia de la fuente de voltaje es infinita ( \ $ \ omega = \ infty \ $ ), el condensador se comporta como un cortocircuito, y por lo tanto hay No hay voltaje a través del condensador.
\ $ \ mathcal {H} (j \ omega) = \ frac {\ frac {R} {R + R_C} \ infty} {\ infty + \ frac {1} {(R + R_C) C}} \ tag3 \ $
Sin embargo, ¿por qué no funcionaría \ $ \ omega = 0 \ $ ? Debido a que el capacitor actuará como un circuito abierto cuando la frecuencia sea cero, \ $ V_ {out} \ $ no recibirá voltaje. Por lo tanto, \ $ \ omega = 0 \ $ es mínimo.
C) ¿Cuál es el valor máximo de la magnitud de \ $ \ mathcal {H} (j \ omega) \ $ ?
\ $ | \ mathcal {H} (j \ omega) | _ {max} = \ frac {R} {R + R_C} \ tag4 \ $
D) ¿A qué frecuencia la magnitud de \ $ \ mathcal {H} (j \ omega) \ $ será igual a su valor máximo dividido por \ $ \ sqrt {2} \ $
Comenzamos encontrando la magnitud de la función de transferencia
\ $ | \ mathcal {H} (j \ omega) | = \ frac {\ frac {R \ omega} {R + R_C}} {\ sqrt {\ omega ^ 2 + (\ frac {1} {(R + R_C) \ cdot C}}) ^ 2} \ tag5 \ $
Ahora podemos usar la ecuación \ $ | \ mathcal {H} (j \ omega_c) | = \ frac {| \ mathcal {H} (\ omega) | _ {max}} {\ sqrt {2}} \ $ para resolver las frecuencias de corte
\ $ \ frac {\ frac {R \ omega} {R + R_C}} {\ sqrt {\ omega ^ 2 + (\ frac {1} {(R + R_C) \ cdot C}}) ^ 2} = \ frac {\ frac {R} {R + R_C}} {\ sqrt {2}} \ tag6 \ $
Resolviendo para \ $ \ omega \ $ en esta ecuación, obtengo
\ $ \ omega ^ 2 = \ frac {1} {C ^ 2 (R + R_C) ^ 2} \ rightarrow \ omega = \ frac {1} {C ( R + R_C)} \ tag7 \ $
E) Suponga que una resistencia de 5 ohmios está conectada en serie con el capacitor 80 \ $ \ mu F \ $ en el circuito. \ $ R_C \ $ es 20 ohms. Calcule \ $ \ omega_c \ $
\ $ \ omega_C = \ frac {1} {C (R_C + R)} = \ frac {1} {(80 \ times 10 ^ {- 6}) ( 5 + 20)} = 500 rad / sec \ $
Conectando esto nuevamente a la función de transferencia:
\ $ \ frac {\ frac {20} {20 + 5} j \ times 500} {j \ times 500+ \ frac {1} {(20 + 5) \ cdot (80 \ times 10 ^ {- 6})}} = 0.5656 \ angle 45 \ tag8 \ $