Frecuencia máxima de un filtro de paso alto

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simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab

A) Derive la expresión para \ $ \ mathcal {H} (s) \ $ donde \ $ \ mathcal {H} (s) = \ frac {V_o} {V_i} \ $

Comencé usando el divisor de voltaje en el nodo \ $ V_ {out} \ $ .

\ $ V_o = \ frac {R} {R_c + \ frac {1} {sc} + R} \ \ cdot V_i \ tag1 \ $

B) ¿A qué frecuencia será máxima la magnitud de \ $ H (j \ omega) \ $ ?

La respuesta de frecuencia del sistema es la siguiente

\ $ \ mathcal {H} (s) = \ frac {CRS} {CRS + CR_CS + 1} = \ frac {RCS} {(R + R_C) CS + 1} = \ frac {\ frac {R} {R + R_C} S} {S + \ frac {1} {(R + R_C) C}} \ tag2 \ $

\ $ \ mathcal {H} (j \ omega) = \ frac {\ frac {R} {R + R_C} j \ omega} {j \ omega + \ frac { 1} {(R + R_C) C}} \ tag3 \ $

La magnitud será máxima cuando la frecuencia sea infinita. Esto se debe a que cuando la frecuencia de la fuente de voltaje es infinita ( \ $ \ omega = \ infty \ $ ), el condensador se comporta como un cortocircuito, y por lo tanto hay No hay voltaje a través del condensador.

\ $ \ mathcal {H} (j \ omega) = \ frac {\ frac {R} {R + R_C} \ infty} {\ infty + \ frac {1} {(R + R_C) C}} \ tag3 \ $

Sin embargo, ¿por qué no funcionaría \ $ \ omega = 0 \ $ ? Debido a que el capacitor actuará como un circuito abierto cuando la frecuencia sea cero, \ $ V_ {out} \ $ no recibirá voltaje. Por lo tanto, \ $ \ omega = 0 \ $ es mínimo.

C) ¿Cuál es el valor máximo de la magnitud de \ $ \ mathcal {H} (j \ omega) \ $ ?

\ $ | \ mathcal {H} (j \ omega) | _ {max} = \ frac {R} {R + R_C} \ tag4 \ $

D) ¿A qué frecuencia la magnitud de \ $ \ mathcal {H} (j \ omega) \ $ será igual a su valor máximo dividido por \ $ \ sqrt {2} \ $

Comenzamos encontrando la magnitud de la función de transferencia

\ $ | \ mathcal {H} (j \ omega) | = \ frac {\ frac {R \ omega} {R + R_C}} {\ sqrt {\ omega ^ 2 + (\ frac {1} {(R + R_C) \ cdot C}}) ^ 2} \ tag5 \ $

Ahora podemos usar la ecuación \ $ | \ mathcal {H} (j \ omega_c) | = \ frac {| \ mathcal {H} (\ omega) | _ {max}} {\ sqrt {2}} \ $ para resolver las frecuencias de corte

\ $ \ frac {\ frac {R \ omega} {R + R_C}} {\ sqrt {\ omega ^ 2 + (\ frac {1} {(R + R_C) \ cdot C}}) ^ 2} = \ frac {\ frac {R} {R + R_C}} {\ sqrt {2}} \ tag6 \ $

Resolviendo para \ $ \ omega \ $ en esta ecuación, obtengo

\ $ \ omega ^ 2 = \ frac {1} {C ^ 2 (R + R_C) ^ 2} \ rightarrow \ omega = \ frac {1} {C ( R + R_C)} \ tag7 \ $

E) Suponga que una resistencia de 5 ohmios está conectada en serie con el capacitor 80 \ $ \ mu F \ $ en el circuito. \ $ R_C \ $ es 20 ohms. Calcule \ $ \ omega_c \ $

\ $ \ omega_C = \ frac {1} {C (R_C + R)} = \ frac {1} {(80 \ times 10 ^ {- 6}) ( 5 + 20)} = 500  rad / sec \ $

Conectando esto nuevamente a la función de transferencia:

\ $ \ frac {\ frac {20} {20 + 5} j \ times 500} {j \ times 500+ \ frac {1} {(20 + 5) \ cdot (80 \ times 10 ^ {- 6})}} = 0.5656 \ angle 45 \ tag8 \ $

    
pregunta Arthur Green

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En el límite, a medida que la frecuencia se acerca al infinito, el término que involucra a C tiende a cero. Esto facilita el cálculo de la magnitud, ya que la parte imaginaria se desvanece. Matemáticamente, la magnitud de la función de transferencia es la magnitud de la parte superior dividida por la magnitud de la parte inferior. La parte superior es trivial. La parte inferior es la raíz cuadrada de la suma de la parte imaginaria al cuadrado y la parte real al cuadrado. Sólo el fondo varía con la frecuencia. Para maximizar la magnitud, minimice la parte inferior.

    
respondido por el Steve Hubbard

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