Reorganizar la función de transferencia para el diagrama de Bode

¡Bienvenido a la electrónica de intercambio de pila! Iría con el enfoque de R.D middlebrook y haría el análisis en el estilo de "análisis orientado al diseño". Esto significa que primero dividiría el circuito y haría álgebra "en el circuito".

Primera separación: Vemos que el filtro RC se puede separar del resto del circuito porque no está cargado por el opamp:

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

$$ H (s) '= \ frac {uo'} {ui '} = \ frac {(C_a \ cdot s) ^ {- 1}} {R_3 + (C_a \ cdot s) ^ {- 1}} = \ frac {1} {{R_3C_a \ cdot s} +1} $$

el primero hacia abajo. ahora al opamp

^{simular este circuito}

Vemos que esta es una configuración de amplificador común con la fórmula $$ H = \ frac {Z_2} {Z_1} + 1 $$ where $$ Z_1 = R_3 $$ y Z_2 es R_1 en paralelo con C_3.

Así que vemos que $$ H (s) '' = \ frac {uo ''} {ui ''} = \ frac {R_2 || C_b} {R_1} +1 = \ frac {(R_2 ^ {- 1} + (\ frac {1} {C_b \ cdot s}) ^ {- 1}) ^ {- 1}} {R_1} +1 = \ left | \ frac {1} {\ frac {1} {R_2} + C_b \ cdot s} \ right | _ {\ cdot \ frac {R_2} {R_1}} \ cdot \ frac {1} {R_1} + 1 $$ $$ = \ frac {R_2} {R_1} \ cdot \ frac {1} {1 + R_2C_b \ cdot s} +1 $$

Así que la función de transferencia total es $$ \ left (\ frac {1} {{R_3C_a \ cdot s} +1} \ right) \ cdot \ left (\ frac {R_2} {R_1} \ cdot \ frac {1} {1 + R_2C_b \ cdot s} +1 \ right) $$

De esto se puede ver que tenemos 2 frecuencias de corte. el primero es $$ \ frac {1} {2 \ pi \ cdot R_3 C_a} $$ y el segundo: $$ \ frac {1} {2 \ pi \ cdot R_2 C_b} $$ (dado que el nodo de entrada en el opamp es campo virtual)

Espero que mi respuesta te brinde otra perspectiva sobre cómo analizar circuitos, de una manera más fácil.

Una forma de ver este circuito es aplicar las técnicas de circuitos analíticos rápidos o FACTs formalizado por el Dr. Middlebrook hace algunos años. Este filtro de segundo orden es en realidad la cascada de dos filtros de primer orden que se pueden resolver por separado:

ConsiderandounaimpedanciainfinitaenlaentradaNINV(elamplificadoroperacionalseconsideraperfecto),elprimercircuitoesunfiltrodepasobajoclásicogobernadoporlasiguientefuncióndetransferencia: \ $ H_1 (s) = \ frac {1} {1+ \ frac {s} {\ omega_ {p1}}} \ $ con \ $ \ omega_ {p1} = \ frac {1} {R_3C_a} \ $ .

Para el segundo filtro, podemos mostrar que esta estructura obedece a la siguiente expresión: \ $ H_2 (s) = \ frac {H_0 + H ^ 1s \ tau_1} {1+ s \ tau_1} \ $ En esta expresión, \ $ H_0 \ $ designa la ganancia determinada para \ $ s = 0 \ $ y se obtiene con un condensador de circuito abierto \ $ C_b \ $ . Si calcula la ganancia en esta configuración no inversora, debe encontrar: \ $ H_0 = \ frac {R_2} {R_1} +1 \ $ .

La constante de tiempo \ $ \ tau_1 \ $ se obtiene al reducir la excitación a 0 V (cortocircuitando el \ $ V_ {in} \ $ fuente) y encontrar la resistencia "vista" en las conexiones de \ $ C_b \ $ . Este es el ejercicio \ $ R? \ $ en la siguiente imagen:

Porinspección,laúnicaresistenciaquesevesilagananciadebucleabiertoesinfinitaes \ $ R_2 \ $ que lleva a \ $ \ tau_1 = R_2C_b \ $ . Da un segundo polo ubicado en \ $ \ omega_ {p2} = \ frac {1} {R_2C_b} \ $ .

El cero se puede obtener calculando una ganancia \ $ H ^ 1 \ $ en la que el condensador \ $ C_b \ $ se establece en su estado de alta frecuencia (un cortocircuito). En este caso, tenemos \ $ H ^ 1 = 1 \ $ y el numerador de \ $ H_2 \ $ se puede escribir como: \ $ N (s) = H_0 (1+ \ frac {H ^ 1} {H_0} s \ tau_1) \ $ que si usted desarrolla y reorganiza esto le da la segunda función de transferencia intermedia: \ $ H_2 (s) = H_0 \ frac {1+ \ frac {s} {\ omega_ {z1}}} { 1+ \ frac {s} {\ omega_ {p2}}} \ $ con \ $ \ omega_ {z1} = \ frac {1} {(R_2 || R_1) C_b} \ $ y \ $ \ omega_ {p2} = \ frac {1} {R_2C_b} \ $ .

Finalmente, las dos funciones de transferencia en cascada llevan a la expresión final que desea, escrita en un formato llamado de baja entropía :

\ $ H (s) = H_0 \ frac {1+ \ frac {s} {\ omega_ {z1}}} {(1+ \ frac {s} {\ omega_ {p1}}) (1+ \ frac {s} {\ omega_ {p2}})} \ $ con

\ $ \ omega_ {z1} = \ frac {1} {(R_2 || R_1) C_b} \ $ \ $ \ omega_ {p1} = \ frac {1} {R_3C_a} \ $ \ $ \ omega_ {p2} = \ frac {1} {R_2C_b} \ $ \ $ H_0 = \ frac {R_2} {R_1} +1 \ $

Podemos verificar estos cálculos con una simple hoja de Mathcad que compara el enfoque de fuerza bruta y los FACT: los resultados son idénticos.

Elenfoqueadoptadopuedepareceruntantooscuroparaalgunoslectores,peronoloes,ylatécnicaestábienformalizadahoyendía.EllibrodadoenlaintroducciónesunaposibilidadparaexplorarestosFACTs,asícomoellibrode Vorpérian y todos los documentos. encontrado en línea. ¡Aprender los HECHOS en 2019 es ciertamente un buen proyecto!