¿Cómo calcular la función de transferencia?

Aplicar los FACTs es la forma más rápida de llegar a este circuito. Es un filtro de primer orden (un elemento de almacenamiento de energía) y su función de transferencia obedece a la siguiente expresión:

\ $ H (s) = H_0 \ frac {1 + s \ tau_2} {1 + s \ tau_1} \ $

Los términos \ $ \ tau_1 \ $ y \ $ \ tau_2 \ $ designan el tiempo respectivamente constantes que involucran el elemento de almacenamiento de energía considerado (aquí es \ $ C_1 \ $ ) cuando el circuito se observa con un estímulo puesto a cero ( \ $ V_ {in} = 0 \; V \ $ , abrevia la fuente) y cuando la respuesta \ $ V_ {out} \ $ Se anula (0 V a pesar de la presencia de estímulos). Aquí, no hay cero y \ $ \ tau_2 = 0 \ $ .

En esta expresión, \ $ H_0 \ $ representa la ganancia casi estática obtenida para \ $ s = 0 \ $ . Para determinar la función de transferencia de dc para \ $ s = 0 \ $ , abra el condensador y vuelva a dibujar el circuito:

LagananciadeCDesinmediataeiguala \ $ H_0 = \ frac {R_2} {R_2 + R_1} \ $

Ahora, para la constante de tiempo, simplemente reduzca el estímulo a 0 V y reemplace \ $ V_ {in} \ $ por un cortocircuito. Luego, "mire" las conexiones del condensador para determinar la resistencia. Esta es la flecha seguida por R? en el dibujo Verá una resistencia igual a: \ $ R = (R_1 || R_2) + R_3 \ $ que lleva a una constante de tiempo \ $ \ tau_1 \ $ igual a \ $ \ tau_1 = [(R_1 || R_2) + R_3] C_1 \ $ . ¡Y esto es todo!

La función de transferencia se obtiene al inspeccionar el circuito y aparece inmediatamente en forma de baja entropía :

\ $ H (s) = H_0 \ frac {1} {1+ \ frac {s} {\ omega_p}} \ $ con \ $ H_0 = \ frac {R_2} {R_2 + R_1} \ $ y \ $ \ omega_p = \ frac {1} {[( R_1 || R_2) + R_3] C_1} \ $

Esta es la forma correcta de escribir esta función de transferencia: un término principal y un polo claramente factorizados. Los términos paralelos no deben desarrollarse: esto es lo que proporciona información sobre esta expresión y le permite ver de inmediato cómo evoluciona la constante de tiempo si una de las resistencias disminuye o se acerca al infinito. La trama se da a continuación:

Puedevercuánrápidoesllegaralresultadoqueseexpresadeformasignificativaenundisparo.Nohaynadamaloconlaformadematrizquesemuestraacontinuación,perocreoqueestáunpoco"sobredimensionada" para este simple circuito. Lemmy habría dicho "demasiado".

Reddevil: sí, la función de transferencia dada (forma general) es correcta. Quizás, es útil combinar ambas expresiones con (jwC) como un factor común. En este caso, la función de transferencia asume la forma clásica H = 1 / (c + jwT) con c = const. y T = constante de tiempo.

Las funciones de transferencia son expresiones que representan una cantidad de salida dividida por una cantidad de entrada. Aquí no especifica una cantidad de entrada o salida.

También necesitas un voltaje de referencia. Los voltajes se especifican como posibles diferencias entre puntos. Sin una referencia, no podría decir que el nodo 4 es 5 o 12 o 10000 voltios; solo podría decir que el nodo 4 es 5 o 10 o 1000 voltios mayor que nodo 3.

Una vez que descubra cuál es su entrada, salida, punto de referencia y voltaje de referencia, puede continuar buscando la función de transferencia. Hay algunas técnicas diferentes que puedes usar, pero me gusta usar el método de malla actual. A continuación, esbozo un ejemplo del método de corriente de malla para su circuito. Una búsqueda en internet del método actual de malla le dirá cómo hacerlo. El método actual de malla le dará un sistema de N ecuaciones lineales donde N es el número de bucles actuales en su red.

Puedes resolver este sistema de ecuaciones lineales a mano, o puedes escribirlas en forma de matriz Z * I = V donde Z contiene todas tus R's, C's y L's; Yo soy tus bucles actuales; y V es tu voltaje. Luego puede resolver las corrientes I con un solucionador de matrices como numpy en Python o MATLAB usando I = inv (Z) * V. Esta es una buena manera de verificar su respuesta o resolver redes más grandes. El siguiente enlace describe este método.

enlace

Una vez que haya resuelto sus corrientes de malla, puede encontrar cualquier diferencia de voltaje. En este ejemplo, la tensión en R2 es R2 * (I1-I2). Ahora, si sabemos que el voltaje de referencia es 0 voltios y el punto de referencia es el nodo 2, entonces podemos decir que el voltaje en el nodo 3 es 0 + R2 * (I1-I2).

Una vez que conoce la cantidad (un voltaje en este caso) en su nodo de salida, puede encontrar la función de transferencia dividiendo por la cantidad de entrada (un voltaje en este caso). Esta será una función racional, y las raíces del denominador se llaman los polos y las raíces del numerador se llaman los ceros. Su frecuencia de corte es el polo de su función de transferencia. Si tiene varios polos, tendrá múltiples frecuencias de corte si los polos son únicos. Esto tiene sentido para un filtro de paso de banda o muesca. Si los polos son iguales, es decir, el denominador de la función racional tiene raíces repetidas, entonces solo tendrá 1 frecuencia de corte, pero tendrá una mayor atenuación después de la frecuencia de corte en comparación con si solo hubiera 1 polo en la frecuencia de corte. / p>

Obtengo la misma función de transferencia que hiciste

\ $ H (s) = \ frac {R2} {R1 + R2 + sC_1 (R_1R_2 + R_1R_3 + R_2R_3)} \ $

syms R1 R2 R3 C1 s v1

% write mesh current equations
Z = [-(R2+R1) R2;
    R2 -(R2+R3+1/(s*C1))];
V = [-v1; 0];
I = inv(Z)*V;

% identify transfer function
tf = (I(2) * 1/(s*C1)) / v1;

% solve poles and zeros
[num,den] = numden(tf);
zeros = solve(num,s); % there are no zeros
poles = solve(den,s);

% numerical evaluation
vars = [R1 R2 R3 C1];
numVars = [100 1e3 1.24e3 1e-9];
cutoff = vpa(subs(poles(1), vars, numVars));