Dada la función
$$ x (t) = 2 \ cos {2 \ pi4t} $$
y una frecuencia de muestreo de 6Hz. Se me pide que encuentre la Transformada de Fourier de la señal muestreada. Intenté hacer esto de 2 maneras que me dieron dos resultados ligeramente diferentes.
1er enfoque
Acabo de evaluar la DTFT de la señal muestreada que es ahora:
$$ x_s [n] = 2 \ cos {\ frac {4 \ pi} {3} n} $$
Observando algunas tablas de transformación, encontré que la DTFT de la señal es:
$$ X (ω) = 2 \ pi \ sum ^ \ infty_ {n = - \ infty} [δ (ω- \ frac {4 \ pi} {3} -2 \ pi n) + δ (ω + \ frac {4 \ pi} {3} -2 \ pi n)] $$
Segundo enfoque La señal con muestreo por impulso se puede escribir como:
$$ x_s (t) = \ sum ^ \ infty_ {n = - \ infty} δ (t- \ frac {n} {6}) 2 \ cos {2 \ pi4t} $$
Ahora, utilizando la propiedad de convolución, el FT, la señal viene dada por:
$$ X (f) = \ sum ^ \ infty_ {n = - \ infty} 6δ (f-6n) \ ast [δ (f-4) + δ ( f + 4)] \\ = \ sum ^ \ infty_ {n = - \ infty} 6 [δ (f-4-6n) + δ (f + 4-6n)] $$ La forma en que lo tengo en mente, es que este método es equivalente al primero. Podría estar equivocado o podría haber hecho algunos cálculos incorrectos. Sé que en el primer método evalué el FT con respecto a la frecuencia angular, mientras que en mi segundo método es con respecto a la frecuencia. Sin embargo, las funciones delta no parecen estar en las mismas frecuencias, más el factor de multiplicación es diferente (2π contra 6).