Sistema de Oscilación

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Para un sistema de retroalimentación positiva formado por una red de amplificadores A (s) y una red de retroalimentación B (s), tenemos la siguiente función de transferencia:
H (s) = A (s) / [1 - A (s) B (s)].

Citando el criterio de Barkhaus, dice que para generar un oscilador con este sistema, debemos tener 1 - A (jwo) B (jwo) = 0
Y luego afirma que el sistema oscilará con la frecuencia wo. Es lo mismo que decir que los polos deben estar en el eje imaginario para que el sistema oscile (sin pérdida después de cada bucle).

Lo que no puedo entender es por qué solo los polos en el eje imaginario no introducen ninguna pérdida en el senoidal después de cada bucle A (s) B (s). En mi cabeza, cualquier polo "So" (sea en el eje imaginario o no) que satisfaga A (So) B (So) = 1 hará que el sistema oscile, manteniendo la misma amplitud de la sinusoide original y sin introducir cambio de fase (después de eso, eso es lo que significa A (So) B (So) = 1).

¿Por qué solo los polos en el eje imaginario (y no cualquier otro) hacen que el sistema oscile indefinidamente? ¿Por qué necesitamos polos en el eje imaginario para mantener un sinusoidal con la misma amplitud y sin introducir ningún cambio de fase después de cada bucle A (s) B (s)?

Gracias

    
pregunta gutto

2 respuestas

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Porque esa es la naturaleza de las exponenciales complejas, como se describe en fórmula de Euler :

e (a + i b) t = e en (sin (bt) + i cos (bt)).

El valor de esta expresión es una sinusoide constante solo si e at es una constante, lo que significa que debe ser cero; es decir, a + i b es un número puramente imaginario.

    
respondido por el Dave Tweed
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Una función se transforma en el dominio s por una convolución contra la función exponencial. Los valores en cualquier punto s en ese dominio miden cómo \ $ e \ $ contribuye a esa función con el poder de \ $ s \ $.

El parámetro \ $ s \ $ es complejo: \ $ s = \ delta + j \ omega \ $, también conocido como "frecuencia compleja". Cada punto en el dominio nos dice qué tan bien se correlaciona la función original con \ $ e ^ {\ delta + j \ omega} \ $.

Ahora \ $ e ^ {a + b} = e ^ ae ^ b \ $ y, por tanto, \ $ e ^ {\ delta + j \ omega} = e ^ \ delta e ^ {j \ omega} \ $. Por lo tanto, el punto en el dominio s representa un factor de descomposición contribuido por la parte real \ $ e ^ \ delta \ $ y una parte sinusoidal compleja contribuida por \ $ e ^ {j \ omega} \ $. En el eje imaginario, \ $ \ delta = 0 \ $, que representa el límite entre la decadencia y el crecimiento, porque \ $ e ^ \ delta = e ^ 0 = 1 \ $.

    
respondido por el Kaz

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