Respuesta de impulso de un filtro RC en serie donde la tensión de salida se toma a través del condensador

Tome las ecuaciones de la relación entre el voltaje y la corriente en un resistor y un condensador

Ic = C dVc/dt     (1)
Ir = 1/R Vr         (2)

Están en series que indican 2 cosas:

1. La corriente en la resistencia es la misma que la del condensador (suponiendo que no hay carga en la salida).
2. El voltaje de entrada total es la suma de los dos.

Dando estas ecuaciones:

Ic = Ir            (3)
Vi = Vc + Vr       (4)

poniendo (1) & (2) en (3), use (4) para reemplazar Vr

1/R Vr = C dVc/dt
1/RC (Vi - Vc) = dVc/dt    (5)

Antes de poder integrar esto, la Vc debe estar con dVc. Reorganizar la ecuación (5) y luego integrarla (suponiendo que Vi es constante y no cambia con el tiempo)

1/RC dt = 1/(Vi-Vc) dVc

1/RC t = -ln(Vi-Vc) + K

Antes de que time 0 Vi se mantuviera estable por un tiempo ilimitado, Vc coincidirá con Vi como condición inicial; En este caso 0V. Evaluamos la integral desde el tiempo t0 y Vc=V0 , hasta el tiempo t y la salida Vo . ( Vo es igual a Vc, y ahora es un buen momento para hacer ese intercambio)

(1/RC) t |t=0->t = -ln(Vi-Vo) |Vc=0->Vo
(1/RC) t = -ln(Vi-Vo) -  -ln(Vi-V0) = -ln( (Vi-Vo)/(Vi-V0) )

Un poco más de reorganización

-t /RC = ln( (Vi-Vo)/(Vi-V0) )
exp(-t / RC) = (Vi-Vo)/(Vi-V0)            (6)

si V0 es 0, entonces:

exp(-t / RC) = 1 - Vo/Vi
Vo/Vi = 1 - exp(-t (R/C))

La respuesta al paso es:

Vo = Vi( 1 - exp(-t / RC) )                    (7a)

Pero pediste la respuesta al impulso. Puede que no sea obvio, pero necesito mantener V0 en la ecuación (6) para mostrar cuál es la respuesta al impulso.

Vo = (V0-Vi) exp(-t / RC) + Vi                   (7b)

¿Qué pasa si el sistema recibe un pulso de magnitud infinita durante una duración de 0 segundos? Una pregunta muy teórica, ya que un pulso no puede tener una duración de 0 segundos y el infinito no es un valor. Entonces, usamos un límite para ver qué ecuación (7a) es igual cuando t->0 y Vi->1/t (las unidades del '1' son voltios-segundos, de modo que no importa la duración en que las pulpas se integren a 1V, un pulso unitario) .

Lim t->0 of Vp = (1/t) ( 1 - exp(-t/RC) )                  (8)
Lim t->0 of Vp = (1/1) ( 0 - exp(-t/RC)*(-1/RC) )          (9)
Lim t->0 of Vp = 1/RC                                      (10)

La ecuación (8) da como resultado una situación de 'cero sobre cero' (exp (...) en la parte superior y 't' en la parte inferior), lo que significa que el límite del cociente de la derivada de la 2 será igual a mismo valor (derivado de arriba y abajo, y re-evaluar el límite); ecuación (9). La ecuación (9) se puede evaluar directamente con 't = 0, dando la ecuación (10). Entonces, inmediatamente después del impulso (después de ... que todavía está en el tiempo cero), el voltaje de salida está repentinamente en 1 / RC. (¡quien haya oído hablar de un condensador que cambia el voltaje en un instante! pero recuerde que esto es teórico con el impulso 'imposible').

Devuelve la ecuación (7b). La salida inicial V0 es 1 / RC; la entrada Vi es cero (de vuelta a cero después de ese lapso momentáneo de realidad que hizo que la salida llegara repentinamente a 1 / RC!). El resultado es una ecuación matemática que representa lo que sucedería si se golpea una función de impulso.

Vo = 1/RC exp(-t / RC)