Sí, podrías hacer eso. Le sugiero que deje todo el termostato y los dispositivos de seguridad actuales en su lugar y solo interrumpa la alimentación del calentador (solo gire el termostato a una temperatura algo más alta de la que quisiera mantener).
Podría conducir un relé mecánico con la salida del LM36, preferiblemente utilizando un transistor como un 2N4401 o MOSFET para impulsar la bobina. El circuito habitual es algo así (bueno para un relé de 12 V tipo T90).
simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab
La idea es evitar cambiar el relé directamente con el LM56 para mantener baja la disipación de energía ya que el LM56 es en realidad su sensor de temperatura. También puede simplificar esto en gran medida cambiando un SSR directamente con el LM56, pero el SSR requeriría un gran disipador de calor para 10A. Podría usar una verruga de pared regulada de 12 V para alimentar esto.
Tenga todo el cuidado necesario con las conexiones de la red eléctrica y pídale a alguien que conozca lo que debe hacer antes de conectar la alimentación si no está familiarizado con la red eléctrica.
Un relé típico de 30A durará unos cientos de miles de operaciones a 10A, por lo que es posible que desee calcular la vida útil y decidir cuánta histéresis puede tolerar en la temperatura ambiente. Algo como 1-1.5 ° C probablemente esté bien.