Aplicación de números complejos [cerrado]

Si considera la potencia real y la potencia imaginaria, estamos hablando de potencia resistiva y potencia reactiva con la energía almacenada en inductores y condensadores. La suma vectorial de ambos se llama "poder aparente"

Incluso en los sistemas mecánicos hay dispositivos recíprocos complejos con energía almacenada en volantes o resortes. Los inductores y los condensadores son similares en cuanto a que pueden almacenar energía, en matemáticas, se llama valor imaginario.

Pero cuando un inductor abre la corriente y arquea, se convierte en energía real similar al cortocircuito de un condensador en alguna resistencia. Aunque este es un ejemplo simple como poner un freno de palanca en un volante.

Si no posee una copia de los volúmenes de Conferencias de Feynman sobre Física , lo recomendaría altamente uno.

Él introduce brillantemente números complejos en Vol. 1, "22-5 Números complejos" . Pero en la siguiente sección, "22-6 Exponentes imaginarios" , hace la siguiente afirmación famosa:

  

Resumimos con esto, la fórmula más notable en matemáticas:
  \ begin {equation} \ label {Eq: I: 22: 9} e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta. \ end {ecuación}   Esta es nuestra joya.

Hay mucho que cubrir aquí, pero le remito a esta conferencia donde aplica la fórmula anterior, con respecto a los circuitos de CA: Vol 2. 22 - Circuitos AC

Un extracto:

  

Ya hemos discutido algunas de las propiedades de los circuitos eléctricos en los Capítulos 23 y 25 del Vol. I. Ahora volveremos a cubrir parte del mismo material, pero con mayor detalle. Nuevamente vamos a tratar solo con sistemas lineales y con voltajes y corrientes que varían sinusoidalmente; luego podemos representar todos los voltajes y corrientes mediante números complejos, utilizando la notación exponencial descrita en el Capítulo 23 del Vol. I. Así se escribirá una tensión V (t) variable en el tiempo
  \ begin {equation} \ label {Eq: II: 22: 1} V (t) = \ hat {V} e ^ {i \ omega t}, \ end {ecuación}   donde $$ \ hat {V} $$   representa un número complejo que es independiente de t . Por supuesto, se entiende que la tensión real variable en el tiempo V (t) viene dada por la parte real de la función compleja en el lado derecho de la ecuación.

Del mismo modo, todos nuestros otros se tomarán cantidades variables en el tiempo para variar sinusoidalmente a la misma frecuencia ω. Así que escribimos   \ begin {equation} \ begin {alineado} I & = \ hat {I} \, e ^ {i \ omega t} \ quad (\ text {current}), \\ [3pt] \ xi & = \ hat {\ xi} \, e ^ {i \ omega t} \ quad (\ text {emf}), \\ [3pt] E & = \ hat {E} \, e ^ {i \ omega t} \ quad (\ text {campo eléctrico}), \ end {alineado} \ label {Eq: II: 22: 2} \ end {ecuación} y así sucesivamente.   

La mayoría de las veces escribiremos nuestras ecuaciones en términos de V, I, ξ, ...    (en lugar de en términos de V̂, Î, ξ̂, ...) recordando, sin embargo, que las variaciones de tiempo son las indicadas en (22.2). En nuestra discusión anterior de circuitos, asumimos que cosas como Las inductancias, las capacitancias y las resistencias te eran familiares. Queremos ahora examinar con más detalle lo que se entiende por estos elementos de circuito idealizados. Comenzamos con la inductancia.

• Nota: no trates esto como una respuesta, sino como una referencia complementaria

Por un lado, hace que las matemáticas sean mucho más fáciles. Por ejemplo, piensa en resolver ecuaciones diferenciales. Es mucho más simple usar la Transformada de Laplace y resolver la ecuación diferencial, en lugar de usar técnicas clásicas. Sobre el mismo tema, da otra perspectiva al mismo problema desde el punto de vista del dominio de la frecuencia.

También hay herramientas como los diagramas de Bode, que facilitan aproximaciones rápidas de cómo se comporta un sistema en el dominio de la frecuencia.

Si está haciendo un análisis del dominio del tiempo, todo se expresa en números reales: voltajes, corrientes, resistencias, porque estos son siempre valores instantáneos simples. Cuando haces análisis de dominio de frecuencia , es cuando entran los números complejos, porque cantidades como voltajes, corrientes e impedancias tienen ambos magnitud y una fase; la expresión de cantidades tales como números complejos ayuda a la hora de realizar cálculos.