Manipulación de números complejos

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Tengo un número complejo s de la forma s = [1 / sqrt (NN \ $ _ {t})] e ^ {j \ phi_ {k}} \ $ S \ $ _ {o} \ $ is Otro número complejo. Se da que | s-s \ $ _ {o} \ $ | < = \ $ \ epsilon \ $ donde 0 < \ $ \ epsilon \ $ < 2

En la literatura se afirma que esta restricción puede escribirse como  $$ \ phi_ {k} = \ arg s \ in \ left [\ gamma, \ gamma + \ delta \ right] $$  donde \ $ \ gamma \ $ y \ $ \ delta \ $ están dados por \ $ \ gamma \ $ = arg S \ $ _ {o} \ $ - arccos (1- \ $ \ epsilon ^ 2/2) \ $ y \ $ \ delta \ $ = 2arccos (1- \ $ \ epsilon ^ 2/2) \ $   ¿Alguien puede explicar cómo es eso posible?

    
pregunta Aashish Sharma

1 respuesta

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Esto solo es posible si \ $ | s | = | s_0 | = 1 \ $. Cuadrar la desigualdad original da

$$ | s-s_0 | ^ 2 = | s | ^ 2 + | s_0 | ^ 2-2 \ cos (\ Delta \ phi) \ tag {1} \ le \ epsilon ^ 2 $$

donde \ $ \ Delta \ phi = \ arg \ {s \} - \ arg \ {s_0 \} \ $ es la diferencia de fase entre \ $ s \ $ y \ $ s_0 \ $. Si \ $ | s | = | s_0 | = 1 \ $ está satisfecho, obtenemos de (1)

$$ 2 (1- \ cos (\ Delta \ phi)) \ le \ epsilon ^ 2 $$

o, equivalentemente,

$$ \ cos (\ Delta \ phi) \ ge1- \ frac {\ epsilon ^ 2} {2} \ tag {2} $$

De esta desigualdad se deduce que

$$ | \ Delta \ phi | \ le \ arccos \ left (1- \ epsilon ^ 2/2 \ right) $$

que es equivalente a la condición en tu pregunta.

    
respondido por el Matt L.

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