Si tenemos una secuencia binaria que tiene \ $ x \ $ bits de longitud, ¿cuáles son el mínimo y el máximo que se pueden representar en forma de complemento a dos?
El máximo es \ $ 2 ^ {x-1} -1 \ $, y el mínimo es \ $ - 2 ^ {x-1} \ $.
Pero ¿por qué? ¿Cómo se puede demostrar que este es el caso?
Mira la representación de 3 bits:
000 = 0
001 = 1
010 = 2
011 = 3
100 = -4
101 = -3
110 = -2
111 = -1
La mitad de los números comienzan con '1', que es el bit de signo. Así que la mitad de los números son negativos. Significa que tenemos \ $ (2 ^ x) / 2 = 2 ^ {(x-1)} \ $ números negativos. El resto son positivos y cero.
Para x bits, hay 2 valores x .
En el sistema del complemento, hay dos ceros y 2 x-1 : 1 positivo y el mismo número de valores negativos.
En el sistema complementario de dos, estos se asignan de modo que solo hay un cero y un valor negativo más que valores positivos.
El sistema de complemento de los dos está en uso, debido a que el hardware simple funciona de forma natural. Piense, por ejemplo, en el odómetro de su automóvil, que ha restablecido a cero. Luego ponga la marcha atrás y conduzca hacia atrás durante 1 milla (por favor, no haga esto en realidad). Su odómetro (si es mecánico) rodará de 0000 a 9999. El sistema de complemento de los dos se comporta de manera similar.
Editar: Agregué la imagen para cosechar una cantidad asombrosa de puntos de esta pregunta
Para una secuencia binaria de X bits, hay 2 ^ x valores posibles.
Usando enteros sin signo para representarlos, tienes el conjunto de 0, 1, ... (2 ^ x) -1. Si uno quisiera cambiar efectivamente los valores hacia abajo para tener mitad negativo y mitad positivo, restaría 2 ^ (x-1) (que es la mitad del rango) de cada valor, lo que le da 0 - 2 ^ (x-1) , ...., (2 ^ x) -1 - (2 ^ (x-1)).
Reorganizando el último término en 2 ^ x- 2 ^ (x-1) - 1 y reconociendo que y ^ x - y ^ (x-1) = y ^ (x-1), entonces tienes tu rango , - (2 ^ (x-1)) ... 2 ^ (x-1) -1.
Esto se hace en la implementación negando el MSB, que en virtud de su valor de posición es la mitad del rango.
En complemento de dos, el bit más significativo (más a la izquierda) está reservado para el signo del número, por lo que es x-1. La razón por la que es \ $ 2 ^ {x-1} -1 \ $ para números positivos es que uno de estos se usa para cero, mientras que en los números negativos, comenzamos en -1.
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