¿Cómo puedo mostrar que una señal de banda limitada también tiene una duración de tiempo infinita?
Sé que tiene que ver con las transformadas de Fourier y la convolución, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo realmente. También sé que la transformada de Fourier de una función rect es una función sinc.
Se proporciona una prueba en el artículo de Wikipedia sobre Limitación de banda :
Suponga que existe una señal \ $ f (t) \ $ que tiene soporte finito en ambos dominios. Vamos a muestrearlo más rápido que la frecuencia de Nyquist y calcular la respectiva transformada de Fourier \ $ FT (f) = F_1 (w) \ $ y la transformada de Fourier de tiempo discreto \ $ DTFT (f) = F_2 (w) \ $. De acuerdo con las propiedades de la DTFT, \ $ F_2 (w) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} F_1 (w + n f_x) \ $, donde \ $ f_x \ $ es la frecuencia utilizada para la discretización . Si f está limitado por la banda, \ $ F_1 \ $ > es cero fuera de un cierto intervalo, por lo que con suficiente \ $ f_x \ $, \ $ F_2 \ $ también será cero en algunos intervalos, ya que los apoyos individuales de \ $ F_1 \ $ en la suma de \ $ F_2 \ $ won ' t se superponen. De acuerdo con la definición de la DTFT, \ $ F_2 \ $ es una suma de funciones trigonométricas, y como \ $ f (t) \ $ tiene un límite de tiempo, esta suma será finita, por lo que \ $ F_2 \ $ será en realidad un polinomio trigonométrico . Todos los polinomios trigonométricos son holomorfos en un plano complejo completo, y hay un teorema simple en el análisis complejo que dice que todos los ceros de función holomórfica no constante están aislados. Pero esto contradice nuestro descubrimiento anterior de que \ $ F_2 \ $ tiene intervalos llenos de ceros, porque los puntos en tales intervalos no están aislados. Por lo tanto, la única señal limitada en tiempo y ancho de banda es un cero constante.
Lea otras preguntas en las etiquetas signal fourier convolution time