Energía y potencia cuando tenemos funciones trigonométricas (transformada de Fourier)

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Se le pide que evalúe la energía y la potencia de la señal

$$ x (t) = 10 \ cos (100t + 30 °) -5 \ sin (220t-50 °) $$

Ya que es periódico, necesito encontrar

$$ \ int _ {- \ infty} ^ \ infty | x (t) | ^ 2 dt \ text {y} \ frac {1} {T} \ int _ {- T} ^ T | x (t ) | ^ 2 dt $$

Donde \ $ T \ $ es el período de \ $ x (t) \ $ (que es \ $ 18 \ $). Según el teorema de Parseval, sabemos que la energía se conserva cuando hacemos una transformada de Fourier y estaba tratando de usarla (pero no pude). ¿Cuál es la mejor manera de evaluar esas integrales?

    
pregunta Giiovanna

1 respuesta

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Para cualquier señal periódica que reciba

$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | x (t) | ^ 2dt = \ infty $$

es decir, La integral no converge, y, en consecuencia, la energía es infinita. El poder es finito y se puede calcular a partir de la siguiente fórmula (que difiere de la suya en un factor de \ $ \ frac12 \ $):

$$ \ overline {x ^ 2 (t)} = \ frac {1} {2T} \ int _ {- T} ^ T | x (t) | ^ 2dt $$

Tenga en cuenta que \ $ \ cos ^ 2 x = \ frac12 (1+ \ cos (2x)) \ $ y \ $ \ sin ^ 2 x = \ frac12 (1- \ cos (2x)) \ $. Así que después de integrar en un período, los términos con doble frecuencia y también la cancelación a largo plazo. Así que finalmente obtienes el poder

$$ \ overline {x ^ 2 (t)} = 10 ^ 2 \ cdot \ frac12 + 5 ^ 2 \ cdot \ frac12 = 62.5 $$

Tenga en cuenta que el valor real de \ $ T \ $ es irrelevante. Esto es bueno porque el valor que tienes es incorrecto.

    
respondido por el Matt L.

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