Aquí está mi tarea: Encuentra la transformada z inversa de
$$ X (z) = \ frac {1} {2-3z} $$ if \ $ | z | > \ frac {2} {3} \ $ usando la fórmula de definición.
Encontré que $$ x (n) = \ frac {1} {3} (\ frac {2} {3}) ^ {n-1} u (n-1) $$ (usando otro método) .
Pero, ¿cómo puedo encontrarlo usando la fórmula de definición, \ $ x (n) = \ frac {1} {2 \ pi j} \ oint_ {C} ^ {} X (z) z ^ {n-1} dz \ $?
De la definición de inversa z-transforn ,
"La transformada Z inversa es, $$ x (n) = \ frac {1} {2 \ pi j} \ oint_ {C} ^ {} X (z) z ^ {n-1} dz $$ donde C es un camino cerrado en sentido contrario a las agujas del reloj que rodea el origen y se encuentra completamente en la región de convergencia (ROC). En el caso de que la ROC sea causal, esto significa que la ruta C debe rodear todos los polos de X (z). "
$$ \ begin {align} x (n) & = - \ frac {1} {3} \ times \ frac {1} {2 \ pi j} \ oint_ {C} ^ {} \ frac { z ^ {n-1}} {z- \ frac {2} {3}} dz \\ & = - \ frac {1} {3} \ times \ frac {1} {2 \ pi j} \ oint_ {C} ^ {} \ frac {f (z)} {z- \ frac {2} { 3}} dz \ end {align} $$
Donde, \ $ f (z) = z ^ {n-1} \ $. Utilizando Fórmula integral de Cauchy :
$$ x (n) = - \ frac {1} {3} \ times \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) ^ {n-1} $$
Si \ $ n < 1 \ $, entonces la función \ $ f (z) = z ^ {n-1} \ $ tendrá una singularidad en \ $ z = 0 \ $ y, por lo tanto, la fórmula Integral de Cauchy no puede ser aplicado. Entonces \ $ n \ $ debe ser mayor o igual que \ $ 1 \ $. O podemos escribir:
$$ x (n) = - \ frac {1} {3} \ times \ left (\ dfrac {2} {3} \ right) ^ {n-1} u (n-1) $$
PS: lea esta página . Han dado ecuaciones para encontrar la transformada z inversa directamente (sin usar la integración) utilizando el método de residuos.
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