Bueno, lo tengo.
En primer lugar, opté por una solución de trabajo rápido. Esto significa que tuve que hacerlo hoy, con las partes que tenía a mano, y conformarme con un resultado menos que ideal.
Cambié a los siguientes valores en el esquema que puedes ver en la pregunta. El resultado es un retraso de 2.5 minutos antes de que el LED se apague (los últimos 20 segundos son bastante tenues)
La fuente de alimentación es de 2 baterías AAA (aproximadamente 3.2 V)
La resistencia de 2M2 se reemplazó con dos resistencias de 100K en serie.
El condensador 1000uF fue reemplazado por 4 condensadores 220uF en paralelo.
Utilicé un transistor NPN 2N2222 y un transistor PNP 2N3906.
Quité el LED del circuito que no funcionaba. Es un LED SMD blanco no identificado. Pero es súper brillante (suficiente para la lámpara de noche) incluso a 10 mA.
El LED está conectado entre el emisor PNP y tierra sin una resistencia.