Entonces, traté de encontrar una prueba de las fórmulas para convertir del circuito reactivo paralelo al en serie, que encontré en el Manual de ARRL:
\ $ R_s = \ frac {R_pX_p ^ 2} {R_p ^ 2 + X_p ^ 2} \ $
y \ $ X_s = \ frac {R_p ^ 2X_p} {R_p ^ 2 + X_p ^ 2} \ $
donde \ $ R_s \ $ y \ $ X_s \ $ son la resistencia y reactancia de la serie para igualar la impedancia de un circuito paralelo con la resistencia y reactancia de \ $ R_p \ $ y \ $ X_p \ $.
Las resistencias son positivas y los valores reales y las reactancias son firmadas con valores reales (positiva para inductivo y negativa para capacitiva).
Decidí usar la compleja representación de impedancia (uso j para i porque parece ser la convención en electrónica):
\ $ Z_s = R_s + jX_s \ $
y la compleja representación de la admisión:
\ $ Y_p = G_p + jB_p \ $
que da:
\ $ \ frac {1} {Z_p} = \ frac {1} {R_p} + j \ frac {1} {X_p} \ $, luego, con un poco de manipulación algebric:
\ $ Z_p = \ frac {R_pX_p} {X_p + jR_p} \ $
Después de eso, hago \ $ Z_s = Z_p \ $, lo que significa:
\ $ R_s + jX_s = \ frac {R_pX_p} {X_p + jR_p} \ $
Para llevar el término complejo al numerador, multiplico por el conjugado del denominador:
\ $ R_s + jX_s = \ frac {R_pX_p} {X_p + jR_p} * \ frac {X_p-jR_p} {X_p-jR_p} = \ frac {R_pX_p ^ 2-jR_p ^ 2X_p} {R_p ^ 2 + X_p ^ 2} = \ frac {R_pX_p ^ 2} {R_p ^ 2 + X_p ^ 2} + j \ frac {-R_p ^ 2X_p} {R_p ^ 2 + X_p ^ 2} \ $
Ahora, para establecer partes reales e imaginarias iguales, obtenemos:
\ $ R_s = \ frac {R_pX_p ^ 2} {R_p ^ 2 + X_p ^ 2} \ $
y \ $ X_s = - \ frac {R_p ^ 2X_p} {R_p ^ 2 + X_p ^ 2} \ $
La primera fórmula está bien, pero ¿qué hay de malo con la segunda fórmula? ¿Por qué hay ese "-" adicional en frente?