Estoy tratando de encontrar la expresión que describe la autocorrelación de dos funciones heaviside u (t). Me dijeron que el resultado debe ser 1/2, lo que tiene un sentido total, ya que la densidad espectral de potencia de la función heaviside debe ser un delta de Dirac centrado en 0 con 1/2 área (que se puede ver usando la Transformada de Fourier).
Así es como lo pensé:
$$ r_ {xx} (\ tau) = < u (t + \ tau) \ cdot u (t) > = \ lim_ {T \ a \ infty} \ frac {1} {2T} \ int \ limits _ {- T} ^ {T} u (t + \ tau) \ cdot u (t) dt = \ lim_ {T \ to \ infty} \ frac {1} {2T} \ left (\ int \ limits_ {0} ^ {T} dt + \ int \ limits _ {\ tau} ^ {T} dt \ right) = \ lim_ {T \ to \ infty} \ frac {1} {2T} (T + T- \ tau) = \ lim_ {T \ to \ infty} \ frac {1} {2T} (2T - \ tau) = 1 - \ lim_ {T \ a \ infty} \ frac {\ tau} {2T} = 1 $$
¿Qué me estoy perdiendo?
Gracias de antemano.