A su esquema le faltan algunos componentes muy importantes que deben estar en su lugar para producir un diseño estable. Agregar esto ayudará en gran medida a solucionar los problemas con los trastornos que ocurren cuando el relé hace clic dentro o fuera.
Agregue el diodo 1N4001 lo más cerca posible de la bobina del relé.
Coloque los condensadores 10uF cerca de donde se muestra.
Coloque el capacitor de 0.1uF lo más cerca posible de los pines MCU. También sería bueno colocar un segundo capacitor de 0.1uF en el pin VIN de MCU.
El problema con el clic inicial en el relé se debe a que las entradas del ULN2003 son altas a la derecha a medida que se enciende la MCU antes de que el software tenga la oportunidad de programar los pines correspondientes del puerto como salidas que se activan. La forma probable de que esto se pueda solucionar es agregar una resistencia de 1K o 1.5K ohmios desde la entrada del ULN2003 a la GND. Tenga en cuenta que hay algunos microcontroladores en los que esta solución no funcionará, pero como no especificó su tipo de MCU, no es posible estar completamente seguro.