ecuaciones de estado del circuito de orden 2 °

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Tengo un problema con este circuito

No puedo escribir la ecuación de estado porque el sistema que caracteriza el circuito está acoplado con respecto a las derivadas de la diferencia de las corrientes de los anillos.

Deje que $$ i_1: = i_ {R_1} = i_ {L_1} $$ $$ i_2: = i_ {R_2} $$ entonces, aplicando los KVL en sentido contrario a las agujas del reloj a los dos anillos que obtenemos

$$ \ begin {cases} L_1 \ frac {\ text {d}} {\ text {d} t} i_1-L_2 \ frac {\ text {d}} {\ text {d} t} [i_2-i_1] + R_1 i_1 = 0 \\ L_2 \ frac {\ text {d}} {\ text {d} t} [i_2-i_1] -e + R_2 i_2 = 0 \\ \ end {cases} $$

o, equivalentemente

$$ \ begin {cases} \ frac {\ text {d}} {\ text {d} t} i_1 = - \ frac {R_1} {L_1 + L_2} i_1 + \ frac {L_2} {L_1 + L_2} \ frac {\ text {d}} {\ text {d} t} i_2 \\ \ frac {\ text {d}} {\ text {d} t} i_2 = - \ frac {R_2} {L_2} i_2 + \ frac {\ text {d}} {\ text {d} t} i_1 + e \ \ \ end {cases} $$

pero ahora no sé cómo proceder para determinar la ecuación de estado vectorial $$ \ dot {x} = Ax + Bu $$

    
pregunta Gost91

1 respuesta

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A partir de tus ecuaciones:

$$ \ begin {cases} \ frac {\ text {d}} {\ text {d} t} i_1 = - \ frac {R_1} {L_1 + L_2} i_1 + \ frac {L_2} {L_1 + L_2} \ frac {\ text {d}} {\ text {d} t} i_2 \\ \ frac {\ text {d}} {\ text {d} t} i_2 = - \ frac {R_2} {L_2} i_2 + \ frac {\ text {d}} {\ text {d} t} i_1 + e \ \ \ end {cases} $$

Sustitución de la segunda ecuación en la primera ecuación, y de la primera ecuación en la segunda ecuación:

$$ \ begin {cases} \ frac {\ text {d}} {\ text {d} t} i_1 = - \ frac {R_1} {L_1 + L_2} i_1 + \ frac {L_2} {L_1 + L_2} \ left (- \ frac {R_2} {L_2} i_2 + \ frac {\ text {d}} {\ text {d} t_1 i_1 + e \ right) \\ \ frac {\ text {d}} {\ text {d} t} i_2 = - \ frac {R_2} {L_2} i_2 + \ left (- \ frac {R_1} {L_1 + L_2} i_1 + \ frac {L_2} { L_1 + L_2} \ frac {\ text {d}} {\ text {d} t} i_2 \ right) + e \\ \ end {cases} $$

Ecuaciones de reescritura:

$$ \ begin {cases} \ frac {\ text {d}} {\ text {d} t} i_1 \ times \ left (1- \ frac {L_2} {L_1 + L_2} \ right) = - \ frac {R_1} {L_1 + L_2} i_1- \ frac {R_2} {L_1 + L_2} i_2 + \ frac {L_2} {L_1 + L_2} e \\ \ frac {\ text {d}} {\ text {d} t} i_2 \ times \ left (1- \ frac {L_2} {L_1 + L_2} \ right) = - \ frac {R_1} {L_1 + L_2} i_1 - \ frac {R_2} {L_2} i_2 + e \\ \ end {cases} $$

$$ \ begin {cases} \ frac {\ text {d}} {\ text {d} t} i_1 \ times L_1 = -R_1i_1-R_2i_2 + L_2e \\ \ frac {\ text {d}} {\ text {d} t} i_2 \ times L_1 = -R_1i_1 - \ frac {(L_1 + L_2) R_2} {L_2} i_2 + (L_1 + L_2) e \\ \ end {cases} $$

Representación matricial:

$$ A = \ frac {1} {L_1} \ left (\ begin {array} {cc} -R_1 & -R_2 \\ -R_1 & - \ frac {(L_1 + L_2) R_2} {L_2} \ end {array} \ right) $$

$$ B = \ frac {1} {L_1} \ left (\ begin {array} {c} L_2 \\ L_1 + L_2 \ end {array} \ right) $$

    
respondido por el Vicente Cunha

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