Comportamiento de un condensador + resistencia (dominio de frecuencia)

  

por qué un condensador se comporta como un circuito abierto cuando \ $ \ omega < \ omega_p \ $   y como un cortocircuito cuando \ $ \ omega > \ omega_p \ $ (donde   \ $ \ omega_p = 1 / RC \ $ es un polo)?

No lo hace.

Q = CV y diferenciando para obtener la corriente obtenemos I = C dv / dt. Básicamente, la corriente que fluye es proporcional a la tasa de cambio de voltaje. Es tan simple como eso.

Para comprender la compleja impedancia del capacitor, debemos pensar qué sucede en el capacitor si aplicamos una tensión sinusoidal \ $ u_c = U * sen (\ omega t) \ $. La actual será, por definición:

$$ i_c = C * \ frac {du_c} {dt} $$

ahora podemos derivar de \ $ u_c \ $:

$$ \ frac {du_c} {dt} = U * \ omega * cos (\ omega t) $$

La impedancia es el cociente de voltaje y corriente, por lo que si ponemos todo lo que tenemos:

$$ Z = \ frac {u_c} {i_c} = \ frac {U * sin (\ omega t)} {C * U * \ omega * cos (\ omega t)} = \ frac {1} { \ omega C} * \ frac {sin (\ omega t)} {cos (\ omega t)} $$

Podemos interpretar esto como la impedancia que consiste en un cambio de fase de 90 ° (cos to sin) y un factor limitador de amplitud \ $ \ frac {1} {\ omega C} \ $. Esto a menudo se escribirá en forma exponencial como \ $ Z_C = \ frac {1} {j \ omega C} \ $, donde \ $ \ frac {1} {j} \ $ es el cambio de fase de 90 °.

Desde la fórmula simple para Z, podemos observar los valores extremos en \ $ \ omega \ a 0 \ $ y \ $ \ omega \ a + \ infty \ $

$$ \ lim _ {\ omega \ to + \ infty} \ frac {1} {\ omega C} = 0 $$

Como puede ver, la impedancia en un \ $ \ omega \ $ infinito es 0, que es un cortocircuito. También funciona el otro si configuramos \ $ \ omega \ $ a 0:

$$ \ lim _ {\ omega \ to 0} \ frac {1} {\ omega C} = + \ infty $$.

Una impedancia infinita significa un circuito abierto. Podemos recordar esto pensando en cómo se utilizan los condensadores para bloquear DC (\ $ \ omega = 0 \ $) en los circuitos, mientras se pasan las frecuencias más altas sin mucha atenuación.

Todo entre 0 y \ $ \ infty \ $ presentará una carga capacitiva.

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

$$ V_o = V_i (\ frac {Z_C} {Z_C + R}) \ Rightarrow H (\ omega) = \ frac {1 / j \ omega C} {R + (1 / j \ omega C)} \\ \ Rightarrow H (\ omega) = \ frac {1} {1 + j \ omega RC} $$ Por lo tanto, \ $ \ omega_p = 1 / RC \ $.

También \ $ \ Rightarrow | H (\ omega) | = \ frac {1} {\ sqrt {1 + (\ omega RC) ^ 2}} \ $

Como \ $ \ omega > > \ omega_p \ $ (no \ $ \ omega > \ omega _p \ $), \ $ (1 + (\ omega RC) ^ 2) \ rightarrow \ infty \ $ asi \ $ | H (\ omega) | \ rightarrow 0 \ $ ........ (1)

Del mismo modo, como \ $ \ omega < < \ omega_p \ $ (no \ $ \ omega < \ omega _p \ $), \ $ \ omega RC \ rightarrow 0 \ $ así \ $ | H (\ omega) | \ rightarrow 1 \ $ ........ (2)

Desde (1), si la salida (\ $ V_o \ $) va a 0, \ $ | X_C | \ $ debería ser 0 (es decir, cortocircuito) porque R no cambia con la frecuencia.

Desde (2), si la salida (\ $ V_o \ $) sigue a la entrada (\ $ V_i \ $), entonces \ $ | X_C | \ $ debería ser infinito (es decir, abierto) porque los flujos de corriente cero debidos al total "infinito "resistencia.

P.S. Perdón por el mal inglés.