Un TIP120 ya es un darlington con un beta razonablemente alto ... si tiene problemas para saturarlo con la salida GPIO de un Arduino, agregar otro transistor solo elevará el Vbe, caerá otros 700 mV y hará que el problema peor , no mejor.
No dices qué tan grande es la resistencia (si la hay) que estás usando entre el Arduino y la base del TIP120, pero usar un valor más bajo probablemente ayudaría.
La hoja de datos de ATMEL especifica el voltaje mínimo tolerable para una salida de "Alto nivel" como 2.3V ... el valor típico probablemente nunca será más de una caída de diodo por debajo de Vcc, o 2.6 como máximo.
Mientras que la hoja de datos para el TIP120 dice que el Vbe máximo es de 2.5 voltios, un valor mucho más típico será del orden de 1.7 V ... Para conducir el transistor a la saturación, lo más que necesitará es 5mA, dentro del límite actual para un pin GPIO.
Una solución que agrega el recuento de piezas, sería invertir su lógica, conducir la base del TIP120 con 12V a través de una resistencia de tamaño adecuado (alrededor de 2K sería adecuada) y usar una pequeña señal PNP activada por el arduino para "girar off "la corriente de base. Próximamente el esquema.