Se modela un capacitor ideal usando la ecuación:
\ begin {se reúne}
I (t) = C \ frac {\ parcial (V_a (t) - V_b (t))} {\ parcial t}
\ end {se reúnen}
donde \ $ V_a \ $ y \ $ V_b \ $ son los voltajes nodales a través de los cuales se conecta el capacitor.
Suponiendo que no tenemos una expresión analítica para estos voltajes nodales, podemos aplicar algunas aproximaciones simples para los derivados .
Por ejemplo, la aproximación de Euler de la versión anterior da (si esto parece familiar, es porque estamos aproximando la pendiente mediante una línea secante):
\ begin {se reúne}
I (t_1) \ approx C \ frac {(V_a (t_1) - V_b (t_1)) - (V_a (t_0) - V_b (t_0))} {\ Delta t}
\ end {se reúnen}
Ya que nos dan las condiciones iniciales, sabemos qué son \ $ V_a (t_0) \ $ y \ $ V_b (t_0) \ $. Si bien todo lo demás es desconocido, tenemos un problema "casi estático" que se puede resolver en \ $ t_1 \ $ que ya no tiene derivados de tiempo. Reorganizando esta aproximación, obtenemos:
\ begin {se reúne}
\ frac {\ Delta t} {C} I (t_1) + (V_a (t_0) - V_b (t_0)) = V_a (t_1) - V_b (t_1)
\ end {se reúnen}
Note que esta ecuación modela un sistema que se ve así:
simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab
donde
\ begin {se reúne}
R_ {th} = \ frac {\ Delta t} {C} \\
V_ {th} = V_a (t_0) - V_b (t_0)
\ end {se reúnen}
Ahora solo tenemos que reemplazar todos los condensadores en nuestro circuito con este modelo de condensador "casi estático" y tendremos un circuito que podemos resolver para usar las técnicas estándar para circuitos estáticos (análisis nodal modificado, análisis de malla). , etc.).
Una vez que sepamos la solución en \ $ t_1 \ $, simplemente enjuagamos y repetimos para resolver la solución en \ $ t_2 \ $, conociendo la solución en \ $ t_1 \ $, etc.
Las aproximaciones más avanzadas de la derivada temporal pasan por el mismo proceso, la única diferencia es que la aproximación realizada para eliminar la derivada temporal es más complicada.
Como última nota, si está utilizando un solucionador estático similar a un análisis nodal, observe que el circuito de aproximación introduce un nuevo nodo. Mientras que en teoría podría vivir con esto y resolver el voltaje en este nodo superfluo, recuerde que puede reemplazar fácilmente este Thevanin circuit con su equivalente Norton circuit . Esto elimina lo desconocido adicional, haciendo que la solución del sistema de incógnitas sea más rápida.
Como ejemplo sencillo, tome su circuito RC y reemplace el condensador con este modelo cuasi estático:
simular este circuito
Suponiendo que el capacitor está inicialmente descargado, en el momento \ $ t_0 \ $, \ $ V_ {th} = 0 \ $, por lo que encontramos que en el momento \ $ t_1 \ $:
\ begin {se reúne}
V_a (t_1) = \ frac {R_ {th}} {R + R_ {th}} V_s (t_ {1})
\ end {se reúnen}
Para avanzar de \ $ t_1 \ $ a \ $ t_2 \ $, ahora \ $ V_ {th} (t_1) = V_a (t_1) \ $. Asi que:
\ begin {se reúne}
V_a (t_2) = \ frac {R_ {th}} {R + R_ {th}} (V_s (t_ {2}) - V_a (t_1)) + V_a (t_1)
\ end {se reúnen}
Puede repetir este proceso indefinidamente para encontrar cuál es el voltaje en \ $ V_a \ $ en el momento \ $ t_ {n + 1} \ $, que viene dado por:
\ begin {se reúne}
V_a (t_ {n + 1}) = \ frac {R_ {th}} {R + R_ {th}} (V_s (t_ {n + 1}) - V_ {a} (t_n)) + V_a (t_n)
\ end {se reúnen}
Tenga en cuenta que resolví manualmente los circuitos "estáticos" a mano utilizando técnicas estándar. Explicando cómo escribir uno está fuera del alcance de esta pregunta, le remito a estas notas sobre el nodo modificado. análisis si desea aprender cómo hacerlo.
