Esto está mal, pero no puedo averiguar qué está mal, alguien podría ayudarme a encontrar los errores. 
Esto está mal, pero no puedo averiguar qué está mal, alguien podría ayudarme a encontrar los errores.
Lo que falta aquí es la pregunta original. Pero supongo que es algo así como
Para una esfera hueca con radio \ $ r_0 \ $ y carga superficial \ $ \ rho_s = 1000C / m ^ 2 \ $ ubicada en el origen del sistema de coordenadas, encuentre el campo eléctrico en un punto \ $ \ vec { x} _0 \ $ fuera de la esfera.
En general, tienes dos problemas en tu cálculo.
Primero , es un cargo de superficie , y \ $ dq \ $ no depende de ningún \ $ dr \ $, solo \ $ r ^ 2_0 \ $ :
$$ ds = r_0 ^ 2 \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ phi $$
$$ dq = \ rho_sr_0 ^ 2 \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ phi $$
Así que solo tendrás que integrar sobre estos dos ángulos, también:
$$ \ iint ... r_0 ^ 2 \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ phi $$
Segundo cada pequeño cargo \ $ dq \ $ ubicado en una posición \ $ dr \ $ crea un pequeño campo en \ $ \ vec {x} _0 \ $. La dirección y la fuerza dependen de la distancia entre ambos:
$$ \ vec {R} = \ vec {x} _0- \ vec {r} $$
Por supuesto, \ $ r \ $ es diferente para cada \ $ dq \ $, y como ha elegido coordenadas esféricas, también debe expresar esto en coordenadas esféricas:
$$ \ vec {r} = \ begin {pmatrix} r \, \ sin \ theta \, \ cos \ varphi \\ r \, \ sin \ theta \, \ sin \ varphi \\ r \, \ cos \ theta \ end {pmatrix} $$
Con esto, la integral es
$$ \ vec {E} (\ vec {x} _0) = \ iint \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {\ vec {R}} {| \ vec {R} | ^ 3} \, dq $$
$$ = \ iint \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {\ vec {R}} {| \ vec {R} | ^ 3} \ cdot \ rho_sr_0 ^ 2 \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ phi = \ frac {\ rho_sr_0 ^ 2} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ iint \ frac {\ vec {R}} {| \ vec {R} | ^ 3} \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ phi $$
Finalmente, ¿realmente deberías calcular el campo de esta manera? La integral es un poco desagradable ... Por lo general, uno usa la ley de Gauss más la geometría para obtener el resultado conocido
$$ \ vec {E} (\ vec {x} _0) = \ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ frac {\ vec {x} _0} {| \ vec {x} _0 | ^ 3} $$
con
$$ q = 4 \ pi r_0 ^ 2 \ rho_s $$
EDITAR: se perdió el \ $ \ sin \ theta \ $ ...