Me dan una señal \ $ x [n] \ $ que tiene las siguientes propiedades:
- Real y extraño
- Período de \ $ N = 8 \ $ y coeficientes de Fourier \ $ a_k \ $
- \ $ a_9 = 6j \ $
- La suma de \ $ | x [n] | ^ 2 \ $ de \ $ n = 0 \ $ a \ $ n = 7 \ $ es \ $ 576 \ $.
Quiero resolver \ $ a_k \ $ y \ $ x [n] \ $. Lo que tengo son los siguientes: $$ x [n] = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} \ alpha_k e ^ {jkn (\ frac {2 \ pi} {N})} $$ $$ a_k = \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {- jkn (\ frac {2 \ pi} {N})} $$ $$ \ sum_ {n = 0} ^ {7} | x [n] | ^ 2 = 576 $$ Expandí la serie para \ $ a_k \ $ y terminé con algo que se ve así: $$ a_k = \ frac {1} {8} (x [0] + x [1] e ^ {- jk (\ frac {2 \ pi} {8})} + x [2] e ^ {- jk (\ frac {2 \ pi} {4})} + ..) $$ Sin embargo, antes de continuar, sé que debe haber una técnica que debería usar para simplificar este problema, especialmente porque se trata de una función extraña. Sin embargo, una función impar simplificará los términos y me ayudará a cancelar los términos a cada lado de la línea numérica. Sin embargo, en este caso, ya que solo estoy resumiendo en el lado positivo, no estoy seguro de cómo simplificar esta ecuación. ¿Cómo debo proceder y cómo uso mejor la información adicional que se da?