Encontrar las frecuencias para una diferencia de fase dada entre la tensión de alimentación y la corriente de alimentación

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Estoy tratando de resolver un ejercicio relacionado con LCR, pero me encontré con un problema.

Aquí está la tarea de ejercicio y la información:

  

Un circuito de corriente alterna está compuesto por una resistencia de 50, un inductor ideal con una inductancia de 10 mH y un condensador de 1 μF. Averigüe las frecuencias de CA para las cuales existe una diferencia de fase de \ $ \ frac {π} {4} \ $ entre la corriente de alimentación y la tensión de alimentación.

Entonces:
\ $ R = 50 \ Ω \ $
\ $ L = 10 \ mH = 10 ^ {- 2} \ H \ $
\ $ C = 1 \ μF = 10 ^ {- 6} \ F \ $

También sé saber el valor de la frecuencia de resonancia si ayuda.

simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab

Dado que no se especifica cuál de los cables de corriente y voltaje, he calculado que solo habrá dos valores, uno por debajo de la frecuencia de resonancia cuando todo el circuito actúe como un condensador y el otro más grande que la frecuencia de resonancia cuando El circuito funciona como un inductor.

simular este circuito

simular este circuito

Para el primer diagrama:  \ $ tan \ φ = \ frac {X_L-X_C} {R} \ $
\ $ tan \ \ frac {π} {4} = \ frac {X_L-X_C} {R} \ $

\ $ \ frac {X_L-X_C} {R} = 1 \ $
φ es el ángulo entre el fasor de voltaje y el fasor actual. Los valores fasorales son todos picos.

Se puede escribir algo similar para el segundo diagrama de fasores.

El problema es que si continúo resolviendo la ecuación anterior, estaré obligado a tratar con una ecuación cuadrática que me hace pensar que estoy complicando todo, dado los números que tengo que usar para calcular \ $ \ Delta \ $ y luego encuentre \ $ \ omega_1 \ $ y \ $ \ omega_2 \ $. Estoy pensando que hay una manera más fácil de resolver la tarea.

¿Cómo debo resolver este ejercicio?

    
pregunta Daniel Tork

3 respuestas

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No veo ningún problema para resolver las dos fórmulas cuadráticas.

Estás buscando los puntos de medio poder.

$$ f_1, f_2 = f_0 \ left (\ sqrt {1 + \ frac {1} {4Q ^ 2}} \ \ mp \ \ frac {1} {2Q} \ right) \ \ \ \ [1 ] $$ Q = 2 y \ $ f_0 \ $ = 1591.549Hz.

Entonces \ $ f_1 = 1591.549Hz \ times \ left (\ sqrt {1 + \ frac {1} {4 \ times 2 ^ 2}} \ - \ \ frac {1} {2 \ times 2} \ right ) \ $ = 1242.644Hz y \ $ f_2 \ $ = 2038.419Hz.

O: $$ f_1, f_2 = f_0 \ left (\ sqrt {\ left ({\ frac {R} {2L}} \ right) ^ 2 + \ frac {1} {LC}} \ \ mp \ \ frac {R} {2L} \ derecha) \ \ \ \ [2] $$

Capítulo de Resonancia

El resto no es parte de la respuesta, pero muchas referencias no muestran cómo se derivan las fórmulas.

Derivando puntos de media potencia del factor de calidad.

Factor de calidad: $$ Q = \ frac {f_0} {BW} = \ frac {f_0} {f_2 \ - \ f_1} = \ frac {1} {R} \ sqrt {\ frac {L} {C}} = \ frac { \ omega_0 \ L} {R} $$

Resonancia: $$ \ omega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {LC}} $$

En \ $ \ theta = 45 ^ {\ circ}, Z = \ sqrt {2} R \ $.

$$ \ sqrt {R ^ 2 + \ left ({\ omega L - \ frac {1} {\ omega C}} \ right) ^ 2} = \ sqrt {2} R $$ $$ R ^ 2 + \ left ({\ omega L - \ frac {1} {\ omega C}} \ right) ^ 2 = 2 R ^ 2 $$ $$ \ left ({\ omega L - \ frac {1} {\ omega C}} \ right) ^ 2 = R ^ 2 $$ $$ \ omega L - \ frac {1} {\ omega C} = R $$ $$ \ omega ^ 2 LC - \ omega RC - 1 = 0 $$ $$ \ omega ^ 2 - \ omega \ frac {R} {L} - \ frac {1} {LC} = 0 $$ Lo que da \ $ [2] \ $ cuando se aplica a una fórmula cuadrática. $$ \ omega ^ 2 - \ omega \ frac {\ omega_0} {Q} - \ omega_0 ^ 2 = 0 $$ Lo que da \ $ [1] \ $ cuando se aplica a una fórmula cuadrática.

    
respondido por el StainlessSteelRat
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Dado que la diferencia entre la tensión y los ángulos de fase actuales es pi / 4, el ángulo de la impedancia equivalente, Z, es igual a pi / 4. Así que debes escribir la ecuación:

Z = jwL + 1 / (jwC) + 50 = 50 + j (wL + 1 / (wC))

Luego resuelva la ecuación para el ángulo (tangente (pi / 4)="opp" / "adj"):

    
respondido por el Campbell
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La impedancia es R + jwL + 1 / jwC. La fase de Z debe ser pi / 4 (o -pi / 4 la pregunta no está clara al respecto).
Entonces, la fase {(jwRC - w ^ 2LC + 1) / jwC} debe ser + - pi / 4. Por lo tanto: 

arctan(wRC / (1 - w^2LC)) - pi / 2 = +- pi/4.
    
respondido por el Zeta.Investigator

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