Creo que lo siguiente incluye all de los elementos que se le pidió que lograra, incluyendo los ajustes en \ $ V_ {BE} \ $ debido a la mayor corriente del colector que el valor nominal dado. Está implícito en la pregunta, sospecho, que necesita ajustar la cifra \ $ 700 \: \ textrm {mV} \ $.
$$ \ begin {align *}
I_C & = \ frac {10 \: \ textrm {V} -5 \: \ textrm {V}} {1 \: \ textrm {k} \ Omega} \\\\
& = 5 \: \ textrm {mA} \\\\
I_B & = \ frac {I_C} {\ beta} \\\\
& = 50 \: \ mu \ textrm {A} \\\\
V_ {BE} & \ approx 700 \: \ textrm {mV} + 26 \: \ textrm {mV} \ cdot \ operatorname {ln} \ left (\ frac {5 \: \ textrm {mA}} {1 \ : \ textrm {mA}} \ right) \\\\
& \ approx 742 \: \ textrm {mV} \\\\
R_B & = \ frac {10 \: \ textrm {V} -V_ {BE}} {I_B} \\\\
& \ approx 185.2 \: \ textrm {k} \ Omega
\ end {align *} $$
Sin embargo, esto no está de acuerdo con la respuesta que dices que es correcta. Pero ahí está, de todos modos. Por cierto, \ $ \ frac {k T} {q} \ approx 26 \: \ textrm {mV} \ $ a temperatura ambiente. De ahí es de donde vino ese número, arriba.