Convolución gráfica de CT

Hacer esto de forma gráfica o conceptual es bastante fácil. Este problema parece haber sido diseñado para facilitarlo.

Imagina que la señal superior se desliza a lo largo, mientras que la señal inferior permanece fija. Para cada posición de la señal superior, genere el producto de las dos señales, luego sume el área resultante debajo de la curva.

Por ejemplo, en T = 0, la señal superior es la que se muestra. Tenga en cuenta que solo importa la parte de la señal superior entre t = 1 y t = 2. La señal inferior es 1 allí, por lo que básicamente el producto de los dos es siempre la pequeña ventana de la señal superior de t = 1 a t = 2.

En T = 0, ese producto es solo -1 de t = 1 a 2, para un área total de -1. Debería poder ver en la inspección que con la señal superior avanzada en 1 a la derecha (T = 1), ese mismo producto será un rectángulo positivo con área +1. Los valores intermedios obviamente serán lineales de -1 a +1. Del mismo modo, en T = 2 también obtienes +1, luego en T = 3 y mayor, 0.

Básicamente, usted resuelve la convolución mediante la inspección en tres puntos, y luego también observa en la inspección que variará linealmente entre estos puntos.

Edición principal para mejorar la claridad y mostrar el vínculo entre los métodos gráficos y matemáticos :

Matemáticamente, la integral de convolución se define como: $$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $$

Gráficamente, lo que estás haciendo es tomar tu segunda función \ $ h (\ tau) \ $, reflejándola sobre el eje y (\ $ h (- \ tau) \ $), y cambiándola (a la derecha) por algún valor \ $ t \ $: $$ h (- (\ tau-t)) = h (- \ tau + t)) = h (t- \ tau). $$

La convolución de las dos señales en \ $ t \ $ es igual al área superpuesta por las dos señales cuando \ $ h (\ tau) \ $ se desplaza en \ $ t \ $, que se describe matemáticamente como: $$ y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {t} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $$

En nuestro caso, \ $ h (- \ tau) \ $ se valora en el intervalo \ $ [- 2, -1] \ $ cuando \ $ t = 0 \ $, y \ $ x (\ tau) \ $ se valora en el intervalo \ $ [- 1, 2] \ $. Por lo tanto, la superposición solo se produce cuando \ $ t \ geq0 \ $, que redefine nuestros límites:

$$ y (t) = \ int_ {0} ^ {t} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $$

Gráficamente, entonces, la convolución de las dos funciones se puede considerar como el área de la superposición de las dos funciones a medida que mueves \ $ h (t- \ tau) \ $ a lo largo de \ $ \ tau \ $ - eje. En \ $ \ tau = 0 \ $ en su caso, la convolución \ $ y (t) = 0 \ $, ya que no hay área de intersección. Shift \ $ h (\ tau) \ $ to \ $ t = 0.5 \ $ y \ $ y (t) = 0.5 \ $ (cambio en t veces la altura de las dos señales).

\ $ y (t) \ $ continuará aumentando hasta que el borde "final" de \ $ h (\ tau) \ $ pase el borde "inicial" de \ $ x (\ tau) \ $ at \ $ t = 1 \ $. Ahora el área (y, por lo tanto, \ $ y (t) \ $) permanecerá constante hasta que \ $ t = 2 \ $, cuando el pulso en \ $ h (\ tau) \ $ comience a superponerse con la porción negativa de \ $ x (\ tau) \ $. Los valores de función negativos tienen áreas negativas, por lo que \ $ h (\ tau) \ $ continúa, \ $ y (t) \ $ cae a cero en \ $ t = 2.5 \ $ (cuando las sumas de las áreas positiva y negativa incluido dentro de \ $ h (\ tau) \ $ pulso cancelado) y luego continúa disminuyendo a -1 cuando \ $ t = 3 \ $. En este punto, la porción no-cero de \ $ h (\ tau) \ $ está encerrando completamente la porción negativa de \ $ h (\ tau) \ $. Finalmente, \ $ y (t) \ $ comenzará a volver a cero a medida que el área negativa disminuya, terminando en \ $ t = 4 \ $.

En resumen, la convolución gráfica describe el área superpuesta por un \ $ h (\ tau) \ $ reflejado a medida que pasa "a" \ $ x (\ tau) \ $ a lo largo del eje \ $ \ tau \ $ -. El valor de la convolución en cualquier valor \ $ t \ $ - es igual al área superpuesta cuando \ $ h (t- \ tau) \ $ está en ese \ $ t \ $ - valor.