Uno de los comentarios a su pregunta mencionó realizar el análisis usando matemáticas complejas. Aquí hay un esquema:
La impedancia de una resistencia es R
$$$$
La impedancia compleja de un condensador es
$$ \ frac {-j} {\ omega \ cdot C} $$
La impedancia compleja de un inductor es
$$ j \ cdot \ omega \ cdot L $$
La definición de j es:
$$ j = \ sqrt {-1} $$
Por lo tanto:
$$ j \ cdot j = -1 $$
y:
$$ - j \ cdot j = 1 $$
Lo que necesita, es resolver la impedancia utilizando su comprensión de los componentes conectados en serie y en paralelo, sustituyendo estas expresiones de impedancia. Si llama al límite en el C1 izquierdo y al límite en el C2 derecho, terminará con los términos j que son números complejos. Terminará pareciéndose a:
$$ \ frac {\ left (\ frac {R \ cdot \ frac {-j} {\ omega \ cdot C_2}} {R + \ frac {-j} {\ omega \ cdot C_2}} + (j \ cdot \ omega \ cdot L) \ right) \ cdot \ frac {-j} {\ omega \ cdot C_1}} {\ frac {R \ cdot \ frac {-j} {\ omega \ cdot C_2}} {R + \ frac {-j} {\ omega \ cdot C_2}} + (j \ cdot \ omega \ cdot L) + \ frac {-j} {\ omega \ cdot C_1}} $$
Expande la ecuación matemática, multiplica por el conjugado complejo y saca la raíz cuadrada.
La expresion compleja z
$$ \ frac {a + b \ cdot j} {c - d \ cdot j} $$
Tiene el conjugado z ^ *
$$ \ frac {a-b \ cdot j} {c + d \ cdot j} $$
Cambia la polaridad de las expresiones j de positiva a negativa o viceversa
Multiplicando los dos
$$ Z \ cdot Z ^ * = \ frac {a + b \ cdot j} {c - d \ cdot j} \ cdot \ frac {ab \ cdot j} {c + d \ cdot j} = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2 + d ^ 2} $$
Crea una expresión real (no compleja), pero es el cuadrado de la magnitud real, por lo que la raíz de la respuesta es un cuadrado
$$ Z_j = \ frac {\ left (\ frac {R \ cdot \ frac {-j} {\ omega \ cdot C_2} + (j \ cdot \ omega \ cdot L) (R + \ frac {-j } {\ omega \ cdot C_2})} {R + \ frac {-j} {\ omega \ cdot C_2}} \ right) \ cdot \ frac {-j} {\ omega \ cdot C_1}}
{\ left (\ frac {R \ cdot \ frac {-j} {\ omega \ cdot C_2} + (j \ cdot \ omega \ cdot L) (R + \ frac {-j} {\ omega \ cdot C_2}) } {R + \ frac {-j} {\ omega \ cdot C_2}} \ right) + \ frac {-j} {\ omega \ cdot C_1}} $$
Multiplica la parte superior e inferior de los numeradores y denominadores por \ $ j \ cdot \ omega \ cdot C_2 \ $
$$ Z_j = \ frac {\ left (\ frac {R + (j \ cdot \ omega \ cdot L) (j \ cdot R \ cdot \ omega \ cdot C_2 + 1)} {j \ cdot R \ omega \ cdot C_2 +1} \ right) \ cdot \ frac {-j} {\ omega \ cdot C_1}}
{\ left (\ frac {R + (j \ cdot \ omega \ cdot L) (j \ cdot R \ cdot \ omega \ cdot C_2 + 1)} {j \ cdot R \ cdot \ omega \ cdot C_2 +1} \ right |) + \ frac {-j} {\ omega \ cdot C_1}}
= \ frac {\ left (\ frac {R + (j \ cdot \ omega \ cdot L) (j \ cdot R \ cdot \ omega \ cdot C_2 + 1)} {j \ cdot R \ omega \ cdot C_2 +1 } \ right | \ cdot \ frac {-j} {\ omega \ cdot C_1}}
{\ left (\ frac {R + (j \ cdot \ omega \ cdot L) (j \ cdot R \ cdot \ omega \ cdot C_2 + 1)} {j \ cdot R \ cdot \ omega \ cdot C_2 +1} \ right |) + \ frac {-j} {\ omega \ cdot C_1}} $$
$$ Z_j = \ frac {
\izquierda(
R \ cdot (1 - \ omega ^ 2 \ cdot C_2 \ cdot L) + (j \ cdot \ omega \ cdot L)
\ right) \ cdot
-j
}
{
\izquierda(
R \ cdot (1 - \ omega ^ 2 \ cdot C_2 \ cdot L) + (j \ cdot \ omega \ cdot L)
\ right) (\ omega \ cdot C_1) + -j \ cdot (j \ cdot R \ omega \ cdot C_2 + 1)} $$
$$ Z_j = \ frac {
(\ omega \ cdot L) -j \ cdot R \ cdot (1 - \ omega ^ 2 \ cdot C_2 \ cdot L)
}
{
R \ cdot (\ omega \ cdot C_1) \ cdot (1 - \ omega ^ 2 \ cdot C_2 \ cdot L) + (j \ cdot \ omega \ cdot L)
(\ omega \ cdot C_1) + \ R \ cdot \ omega \ cdot C_2 + -j} $$
$$ Z_j = \ frac {
(\ omega \ cdot L) -j \ cdot R \ cdot (1 - \ omega ^ 2 \ cdot C_2 \ cdot L)
}
{
\ left (R \ cdot (\ omega \ cdot C_1) \ cdot (1 - \ omega ^ 2 \ cdot C_2 \ cdot L) + R \ cdot \ omega \ cdot C_2 \ right) + j \ cdot \ left (( omega \ cdot L)
(\ omega \ cdot C_1) -1 \ right)} $$
Si mi álgebra funciona ...
$$ \ vert Z \ vert = \ sqrt {\ frac {
(\ omega \ cdot L) ^ 2 + \ left (R \ cdot (1 - \ omega ^ 2 \ cdot C_2 \ cdot L)
\ right) ^ 2}
{
\ left (R \ cdot (\ omega \ cdot C_1) \ cdot (1 - \ omega ^ 2 \ cdot C_2 \ cdot L) + R \ cdot \ omega \ cdot C_2 \ right) ^ 2 + \ left ((\ omega ^ 2 \ cdot L \ cdot C_1) -1 \ right) ^ 2}} $$
