Expresión de la función de transferencia aproximada de este circuito [cerrado]

Sí, puede usar el análisis nodal como lo hizo o, si lo prefiere, seguir los pasos, como sugiere. Primero hagamos el análisis nodal, solo para demostrar cómo se logra el resultado que proporcionó. El nodo inferior en su esquema se tratará como un elemento común, y se asigna \ $ 0 \: \ textrm {V} \ $ arbitrariamente. Ahora trabajando de izquierda a derecha, estoy etiquetando los nodos de voltaje en la parte superior como \ $ V_1 \ $ (entrada), \ $ V_2 \ $ y \ $ V_3 \ $ (salida):

$$ \ begin {align *} \ frac {V_2} {Z_1} + \ frac {V_2} {Z_2} + \ frac {V_2} {Z_3} & = \ frac {V_1} {Z_1} + \ frac {V_3} {Z_2} \\\\ \ frac {V_3} {Z_2} + \ frac {V_3} {Z_4} & = \ frac {V_2} {Z_2} \ end {align *} $$

Dado que \ $ V_1 \ $ es una entrada provista, lo anterior se resuelve como:

$$ \ begin {align *} V_2 & = V_1 \ cdot \ frac {Z_3 \ cdot \ left (Z_2 + Z_4 \ right)} {Z_1 \ cdot Z_2 + Z_1 \ cdot Z_3 + Z_1 \ cdot Z_4 + Z_2 \ cdot Z_3 + Z_3 \ cdot Z_4} \\ \\ V_3 & = V_1 \ cdot \ frac {Z_3 \ cdot Z_4} {Z_1 \ cdot Z_2 + Z_1 \ cdot Z_3 + Z_1 \ cdot Z_4 + Z_2 \ cdot Z_3 + Z_3 \ cdot Z_4} \ end {align *} $$

Entonces obtengo tu función de transferencia:

$$ \ begin {align *} \ frac {V_3} {V_1} & = \ frac {Z_3 \ cdot Z_4} {Z_1 \ cdot Z_2 + Z_1 \ cdot Z_3 + Z_1 \ cdot Z_4 + Z_2 \ cdot Z_3 + Z_3 \ cdot Z_4} \ end {align *} $$

¡Comprueba!

Ahora, abordemos esto en pasos. Aquí, encontrará que puede reemplazar \ $ V_1 \ $, \ $ Z_1 \ $ y \ $ Z_3 \ $ con su equivalente de Theveinin. Y luego reemplazar ese circuito con otro. Entonces, aquí están los pasos que se presentan en forma esquemática:

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

Observe aquí que he incluido algo que se perdió: \ $ Z_ {TH} \ $. Entonces tienes \ $ Z_ {TH} = \ frac {Z_1 \ cdot Z_3} {Z_1 + Z_3} \ $ y \ $ V_ {TH} = V_1 \ cdot \ frac {Z_3} {Z_1 + Z_3} \ $ y por lo tanto el resultado es:

$$ \ begin {align *} V_3 & = V_ {TH} \ cdot \ frac {Z_4} {Z_4 + Z_2 + Z_ {TH}} \\\\ & = V_1 \ cdot \ frac {Z_3} {Z_1 + Z_3} \ cdot \ frac {Z_4} {Z_4 + Z_2 + \ frac {Z_1 \ cdot Z_3} {Z_1 + Z_3}} \\\\ & = V_1 \ cdot \ frac {Z_3 \ cdot Z_4} {\ left (Z_1 + Z_3 \ right) \ cdot \ left (Z_4 + Z_2 \ right) + Z_1 \ cdot Z_3} \ end {align *} $$

O,

$$ \ begin {align *} \ frac {V_3} {V_1} & = \ frac {Z_3 \ cdot Z_4} {\ left (Z_1 + Z_3 \ right) \ cdot \ left (Z_4 + Z_2 \ right) + Z_1 \ cdot Z_3} \ end {align *} $$

Que es el mismo resultado que antes.

Solo quería asegurarme de que no te perdiste el \ $ Z_ {TH} \ $ de la primera conversión de Thevenin en tu trabajo. Debe incluirlo para llegar al mismo lugar.

Cuando desee estudiar un circuito y ver cómo podría reducirse a una forma más simple al descuidar algunos de sus valores de elementos, es importante expresar la función de transferencia en una forma de baja entropía , un término forjado por el Dr. Middlebrook cuando enseña su teorema de elementos adicionales o EET ( enlace ). Una forma de baja entropía , es una expresión en la que se ve cómo los elementos interactúan entre sí, por ejemplo, a través de arreglos de series paralelas. También puede ver un término principal que le indica si hay ganancia o atenuación en un determinado punto de frecuencia (0 o infinito, por ejemplo). Entonces, en su ejemplo, puedo mostrar, a modo de ilustración, cómo el EET puede llevarlo a una expresión simple sin utilizar el análisis de nodos. Primero, seleccione cuál es su elemento adicional, el elemento sin el cual todo está simplificado. Trabajaré con las resistencias \ $ R \ $ en lugar de \ $ Z \ $ y elegiré \ $ R_3 \ $ como mi elemento. Tengo la opción de convertirlo en un elemento de valor infinito o cero para determinar mi función de transferencia de referencia . Elijo que sea un valor infinito y, por lo tanto, vuelvo a dibujar el circuito sin \ $ R_3 \ $ para calcular la función de transferencia de referencia \ $ H_ {ref} \ $. Al observar el siguiente boceto, inmediatamente se ve que es

\ $ H_ {ref} = \ frac {R_4} {R_4 + R_2 + R_1} \ $

Luego,necesitodeterminarlaresistencia\$R_d\$cuandolatensióndeexcitación\$V_{in}\$sereduzcaa0V(reemplacelafuenteporuncortocircuito).Alejecutarestesencilloejercicio,obtengo

\$R_d=R_1||(R_2+R_4)\$

Elpasofinalseobtienecuandodeterminelaresistencia\$R_n\$vistadesdelasterminalesde\$R_3\$cuandolarespuestaseanula(\$V_{out}=0\;V\$)yelLaexcitaciónestádenuevoensulugar.Sihagoesteejerciciosimple,designadocomoinyeccióndoblenulaoNDI,puedoverque\$R_n=0\;\Omega\$yaquetengo0Venelgeneradordepruebaactual.LoqueesaúnmásinteresanteesquepuedousarSPICEparaverificartodosestospasosintermediosyverificar(ycorregir)misresultados.

HeterminadoypuedoaplicarlaexpresiónEETquees

\$H=H_{ref}\frac{1+\frac{R_n}{R_3}}{1+\frac{R_d}{R_3}}=\frac{R_4}{R_4+R_2+R_1}\frac{1}{(1+\frac{R_1||(R_2+R_4)}{R_3})}\$

Conladisposiciónserie-paralelo,puedeverelimpactodecadaelementoyvercómodescuidarsuvalorpodríaafectarlafuncióndetransferencia.ElsiguientearchivodeMathcadverificatodosestosresultados

Porsupuesto,elEETesunaespeciedeexageraciónaquí,"la única manera de sentir el ruido ...":), pero muestra el principio básico de las Técnicas de Circuitos Analíticos Rápidos o FACTs (ver enlace )

El enfoque de Thévenin sugerido amablemente por jonk ya es un primer paso hacia FACTs porque rompe y simplifica el circuito, ilustrando la teoría de "divide y vencerás" en el trabajo con FACTs.