Aproximación a la integral desde el límite de la suma: búsqueda de la caída de voltaje debido a la corriente de carga distribuida uniformemente en un distribuidor

No puedo decir que siento que entendí completamente tu pregunta. Pero si lo recopilo correctamente, el valor de \ $ i \ $ no cambia a medida que se mueve de un número finito de toques a un número infinito de ellos. Esto, como verá, crea un problema que no se puede resolver con una respuesta finita.

Voy a etiquetar cada toque, de izquierda a derecha, como \ $ k \ $ comenzando con \ $ k = 1 \ $ a la izquierda y \ $ k = n \ $ en el toque más a la derecha. Tienes \ $ n \ $ grifos. La corriente eliminada en cada toque es una constante \ $ i \ $. Voy a llamar a la longitud completa, \ $ L \ $ (y no a \ $ l \ $.) Pero a la longitud de cada segmento de \ $ L \ $ llamaré a \ $ l_k = \ frac {L} {n} \ $. Longitud \ $ L \ $ exhibe cierta resistencia por unidad de longitud \ $ r \ $. La resistencia de cualquier longitud de segmento es \ $ r_k = r \ cdot l_k = r \ frac {L} {n} \ $.

La entrada actual desde la izquierda debe ser la suma de todas las corrientes de rama, o \ $ I = n \ cdot i \ $. Esta corriente debe pasar por el primer segmento \ $ l_1 \ $ de longitud \ $ L \ $ y disminuir el voltaje \ $ v_1 = n \ cdot i \ cdot r \ cdot \ frac {L} {n} \ $. El siguiente segmento caerá un voltaje \ $ v_2 = \ left (n-1 \ right) \ cdot i \ cdot r \ cdot \ frac {L} {n} \ $. Etc.

Entonces, la pregunta que está haciendo, "¿cuál es la caída de voltaje en la longitud \ $ L \ $ as \ $ n \ to \ infty \ $," se puede escribir de esta manera:

$$ \ begin {align *} \ Delta V = VV ^ {'} & = \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {k = 1} ^ n \ left (n-k + 1 \ right) \ cdot i \ cdot r \ cdot \ frac {L} {n} \\\\ & = i \ cdot r \ cdot L \: \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1} {n} \ sum_ {k = 1} ^ n \ left (n-k + 1 \ right) \ \\\ & = i \ cdot r \ cdot L \: \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1} {n} \ left [\ left (n + 1 \ right) \ sum_ {k = 1} ^ n 1- \ sum_ {k = 1} ^ nk \ right] \\\\ & = i \ cdot r \ cdot L \: \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {1} {n} \ left [\ left (n + 1 \ right) n- \ frac {\ left (n +1 \ right) n} {2} \ right] \\\\ & = i \ cdot r \ cdot L \: \ lim_ {n \ to \ infty} \ left [\ frac {1} {n} \ frac {\ left (n + 1 \ right) n} {2} \ Correcto]\\\\ & = i \ cdot r \ cdot L \: \ lim_ {n \ to \ infty} \ left [\ frac {n + 1} {2} \ right] \\\\ & = \ frac {i \ cdot r \ cdot L} {2} \: \ left [1+ \ lim_ {n \ to \ infty} n \ right] \ end {align *} $$

Y no creo que tenga que decirte cómo descubrir ese límite.

Por supuesto, si también disminuiste \ $ i \ $ en función de \ $ n \ $, entonces quizás haya una respuesta diferente. Pero no vi ese comportamiento en tu pregunta.