Función de transferencia del filtro

Este es el problema con el análisis clásico, terminas en una parálisis algebraica y recuperar el control es difícil. La forma más fácil y rápida es considerar los FACTs . Al considerar las constantes de tiempo físicas de estos dos elementos de almacenamiento de energía (circuito de segundo orden), puedo derivar la función de transferencia con el mínimo esfuerzo y factorizarla casi de inmediato. El denominador obedece \ $ D (s) = 1 + sb_1 + s ^ 2b_2 \ $. Hay una ganancia \ $ H_0 \ $ para \ $ s = 0 \ $ obtenida cuando el capacitor está en circuito abierto y el inductor reemplazado por un corto: \ $ H_0 = 1 \ $. Luego, reduzca la excitación a 0 V (reemplace la fuente de entrada por un cortocircuito) y "observe" la resistencia ofrecida por el capacitor (mientras que \ $ L_1 \ $ está en cortocircuito) y el inductor (mientras que \ $ C_2 \ $ Está en circuito abierto) conectando los terminales. Tiene dos constantes de tiempo \ $ \ tau_2 = R_2C_2 \ $ y \ $ \ tau_1 = \ frac {L_1} {R_1} \ $ y puede formar \ $ b_1 = \ tau_1 + \ tau_2 \ $. La constante de tiempo de segundo orden se obtiene considerando \ $ L_1 \ $ abierto en circuito mientras "mira" en las terminales \ $ C_2 \ $: \ $ \ tau_ {12} = C_2 (R_1 + R_2) \ $ lo que lleva a \ $ b_2 = \ tau_1 \ tau_ {12} \ $. El siguiente dibujo ilustra cómo realizar este análisis:

Nohayceroenestaredylaexpresiónqueseajustaalpolinomiodesegundoordenes:\$H(s)=H_0\frac{1}{1+\frac{s}{Q\omega_0}+(\frac{s}{\omega_0})^2}\$.Ahora,sicalculaelfactordecalidad\$Q\$,esmuybajoytodalaredsepuedereemplazarpordospolosencascada:unodominaabajafrecuencia(máscercadelorigen)mientrasqueelsegundoconfiguralarespuestaaaltafrecuencia.Estosellamalaaproximaciónbaja-\$Q\$.Comotal,lafuncióndetransferenciasepuedereescribircomo\$H(s)=H_0\frac{1}{(1+\frac{s}{\omega_{p1}})(1+\frac{s}{\omega_{p2}})}\$con\$\omega_{p1}=Q\omega_0\$y\$\omega_{p2}=\frac{\omega_0}{Q}\$.LasiguientehojadeMathcadlemuestraelprocesocompletoaquíycomparalaexpresiónfactorizadaconlaexpresiónbrutadefuerzabruta(esquinasuperiorderecha):

Para la expresión en bruto, identifiqué un generador de Thévenin que maneja el lado izquierdo de \ $ R_2 \ $ y está afectado por una impedancia de salida hecha de \ $ L_1 || R_1 \ $. A continuación, se aplica una expresión de divisor de impedancia y hay que ir. El problema con este método y con el suyo es que puede cometer errores al desenrollar toda la expresión y tratar de reorganizarla en un formato amigable (factor de lectura). Al aplicar los HECHOS, verá que simplemente divide el circuito en una sucesión de bocetos simples para los cuales las constantes de tiempo se determinan mediante inspección, ¡no álgebra! Luego, ensamblas las piezas para formar el denominador que deseas, ya en una forma canónica. Si luego descubre un error, regrese al boceto, corríjalo y el resto permanecerá intacto. ¡Realmente te animo a que investigues estos HECHOS y determines las funciones de transferencia de la manera más rápida posible!