por qué decimos que en el sistema trifásico la potencia total entregada al circuito trifásico equilibrado es la misma en cualquier momento

Todo se reduce al hecho de que, en un sistema ideal, cada fase tiene una forma de onda sinusoidal y una relación bien conocida

$$ sin (x) ^ 2 + cos (x) ^ 2 = 1 $$ para todas las X, y la potencia es proporcional a V ^ 2.

Ahora, esa relación obviamente se aplica a 2 fases separadas por 90 grados. ¿Cómo se puede aplicar a 3 fases separadas por 120 grados?

Toma la primera fase como Sin (X). Los otros dos son $$ sin (x + 120 grados) $$ y $$ sin (x - 120 grados) $$

Un poco de análisis vectorial (dibuje los tres para ilustrar) le permite resolver cada una de las dos últimas fases en componentes de seno y coseno. Así que $$ sin (x + 120) = A * sin (x) + B * cos (x) $$ Te dejaré averiguar los valores de A y B.

Repita para la otra fase $$ sin (x + 120) = C * sin (x) + D * cos (x) $$

Ahora cuadrar cada una de las tres fases y sumar sobre los cuadrados ... esto es un poco de un ejercicio, pero debes obtener

$$ sin (x) ^ 2 + cos (x) ^ 2 $$

que es de curso 1.

No, la suposición no es correcta.

En un momento dado, el voltaje en al menos dos de las fases será distinto de cero. La potencia instantánea total será la suma de todas las potencias entregadas por cada una de las tres fases, y es lo suficientemente constante en un ciclo.

Vea la respuesta de Munadil Fahad a ¿Por qué necesitamos? ¿Fuente de alimentación trifásica? para algunos gráficos bonitos.

Tu suposición es incorrecta. En cada instante, la potencia de carga se comparte entre las tres fases.

Imagina por simplicidad que los voltajes y las corrientes están en fase. Funciona incluso si no lo son, pero es más difícil de ver.

Considere los voltajes de fase:

$$ V_a = V \ cos (\ omega t), V_b = V \ cos (\ omega t - 120 °), V_c = V \ cos (\ omega t + 120 °) $$

Luego, en \ $ t = 0 \ $, la potencia en la fase A es cero, pero las otras dos no son cero. Poco después, las tres fases serán distintas de cero. Después de un tercio de un ciclo, la potencia en la fase B llegará a cero, mientras que las otras dos no serán cero.

Por lo tanto, se puede ver que al menos dos de las potencias de fase instantáneas individuales generalmente no son cero.

Para ver que la potencia total es constante, use la identidad de activación de multiplicación de coseno \ $ \ cos \ alpha \ cos \ beta = \ frac {1} {2} (\ cos (\ alpha + \ beta) + \ cos (\ alpha - \ beta)) \ $ para multiplicar el voltaje y la corriente:

$$ P_a = V \ cos (\ omega t) \ cdot I \ cos (\ omega t) = \ frac {VI} {2} [\ cos (2 \ omega t) + \ cos (0 °)] $$ $$ P_b = V \ cos (\ omega t- 120 °) \ cdot I \ cos (\ omega t- 120 °) = \ frac {VI} {2} [\ cos (2 \ omega t + 120 °) + \ cos (0 °)] $$ $$ P_c = V \ cos (\ omega t + 120 °) \ cdot I \ cos (\ omega t + 120 °) = \ frac {VI} {2} [\ cos (2 \ omega t-120 °) + \ cos (0 °)] $$

Dado que \ $ \ cos (0 °) = 1 \ $ la suma de poderes es:

$$ P_a + P_b + P_c = \ frac {VI} {2} [\ cos (2 \ omega t) + \ cos (2 \ omega t + 120 °) + \ cos (2 \ omega t-120 °)] + \ frac {3VI} {2} $$

Claramente \ $ \ frac {3VI} {2} \ $ es constante, por lo que solo necesitamos concentrarnos en la otra parte. Si aplicamos la identidad de activación de multiplicación de coseno a la inversa esta vez, tenemos:

$$ \ cos (2 \ omega t) + \ cos (2 \ omega t + 120 °) + \ cos (2 \ omega t-120 °) = \ cos (2 \ omega t) +2 \ cos (2 \ omega t ) \ cos (120 °) $$

Dado que \ $ \ cos (120 °) = - \ frac {1} {2} \ $ esto se reduce a cero, dejando solo la parte constante. Por lo tanto, el poder combinado instantáneo de las tres fases no depende de \ $ t \ $. En otras palabras, "es lo mismo en cualquier instante".

Una representación gráfica de estas ecuaciones se muestra en este gráfico.

\ $ P_a \ $ es rojo, \ $ P_b \ $ es amarillo, \ $ P_c \ $ es azul y la suma es naranja.