Para el circuito anterior,
La respuesta natural será A × exp (-t / RC) donde A es cualquier constante.
Para la respuesta forzada, el capacitor está en circuito abierto, por lo tanto, la resistencia 10K también se elimina y, por lo tanto, la respuesta forzada es 10Cos (2t).
Conectándose a la eq. Para V (t) y resolviendo en t = 0 obtengo A = -5. Pero todavía no estoy consiguiendo la respuesta impresa en la imagen. ¡SE NECESITA AYUDA!
GRACIAS
A partir de tus comentarios, asumo que ya encontraste la ecuación diferencial que debes resolver, así que empezaré desde allí:
\ $ v_C + \ frac {1} {2} \ frac {dv_C} {dt} = 10 \ cos (2t) \ $
Encontrar soluciones homogéneas
\ $ v_C + \ frac {1} {2} \ frac {dv_C} {dt} = 0 \ $
Podemos encontrar desde \ $ 1 + \ frac {1} {2} \ lambda = 0 \ $ que \ $ \ lambda = -2 \ $. Nuestra solución homogénea será por lo tanto:
\ $ v_ {C, h} = A \ cdot e ^ {- 2t} \ $
Cómo encontrar la solución en particular
\ $ v_C + \ frac {1} {2} \ frac {dv_C} {dt} = f (t) \ $ where \ $ f (t) = 10 \ cos (2t) \ $
Por lo tanto, intentamos una solución particular de
\ $ v_ {C, p} = B \ cos (kt) + C \ sin (kt) + D \ $
\ $ \ frac {dv_ {C, p}} {dt} = -Bk \ sin (kt) + Ck \ cos (kt) \ $
Ahora necesitamos averiguar \ $ B, C \ $ y \ $ D \ $.
\ $ \ left (B \ cos (kt) + C \ sin (kt) + D \ right) + \ frac {1} {2} \ left (-Bk \ sin (kt) + Ck \ cos ( kt) \ right) = 10 \ cos (2t) \ $
Encontramos que \ $ k = 2 \ $, \ $ B + C = 10 \ $, \ $ B - C = 0 \ $ y \ $ D = 0 \ $. Esto nos da simplemente: \ $ k = 2, B = C = 5, D = 0 \ $.
Cómo encontrar la solución total
La solución total es la suma de la solución homogénea y la solución particular. También tenemos que coincidir con las condiciones iniciales. Encontramos que
\ $ v_C = v_ {C, h} + v_ {C, p} = Ae ^ {- 2t} + 5 \ cos (2t) + 5 \ sin (2t) \ $
Para encontrar \ $ A \ $ podemos conectar nuestra condición inicial para \ $ v_C \ $:
\ $ v_C (t = 0) = A + 5 = 0 \ Rightarrow A = -5 \ $.
Así que la solución final es
\ $ v_C = -5e ^ {- 2t} + 5 \ cos (2t) + 5 \ sin (2t) \ $
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