¿Cómo construir una ecuación diferencial a partir de este circuito RLC?

Solo necesitas agregar una ecuación más

$$ v_1 = -i_1 R_1 $$ $$ v_1 = -CR_1 \ frac {dv} {dt} $$

Así $$ v_L = v - v_1 = v + C R_1 \ frac {dv} {dt} $$

Ahora puedes sustituir en tu ecuación integro-diferencial para obtener una ecuación con una sola variable

$$ C \ frac {dv} {dt} + \ frac {1} {L} \ int _ {- \ infty} ^ t (v + CR_1 \ frac {dv} {dt}) dt + \ frac { v + CR_1 \ frac {dv} {dt}} {R_2} = 0 $$

Desde aquí puede reorganizar los términos y tomar derivadas hasta que alcance una ecuación diferencial en una variable, que se puede resolver con los métodos habituales (reconociendo una forma conocida, la transformada de Laplace, etc.)

Solo para que tenga mi enfoque a considerar, también. (Sé que ya ha seleccionado una respuesta). Aquí está el esquema rediseñado que prefiero:

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

Aplico el análisis nodal y obtengo estas dos ecuaciones de los dos nodos:

$$ \ begin {align *} \ frac {V_ \ text {C}} {R_1} + C \ frac {\ text {d} V_ \ text {C}} {\ text {d} t} & = \ frac {V_ \ text {L} } {R_1} \ label {n1} \ tag {node $ V_ \ text {C} $} \\\\ \ frac {V_ \ text {L}} {R_1} + \ frac {V_ \ text {L}} {R_2} + \ frac {1} {L} \ int V_ \ text {L} \: \ text {d } t & = \ frac {V_ \ text {C}} {R_1} \ label {n2} \ tag {node $ V_ \ text {L} $} \ end {align *} $$

Simplemente resuelva la ecuación \ $ \ ref {n1} \ $ para \ $ V_ \ text {L} \ $:

$$ \ begin {align *} V_ \ text {L} & = V_ \ text {C} + R_1 \: C \ frac {\ text {d} V_ \ text {C}} {\ text {d} t} \ label {n3} \ tag {resuelto por $ V_ \ text {L} $} \ end {align *} $$

, y luego sustitúyalo por lo anterior por \ $ \ ref {n2} \ $:

$$ \ begin {align *} \ frac {V_ \ text {C} + R_1 \: C \ frac {\ text {d} V_ \ text {C}} {\ text {d} t}} {R_1} + \ frac {V_ \ text {C } + R_1 \: C \ frac {\ text {d} V_ \ text {C}} {\ text {d} t}} {R_2} + \ frac {1} {L} \ int \ left [V_ \ text {C} + R_1 \: C \ frac {\ text {d} V_ \ text {C}} {\ text {d} t} \ right] \: \ text {d} t & = \ frac {V_ \ text {C}} {R_1} \\\\ \ frac {V_ \ text {C}} {R_1} + \ frac {V_ \ text {C}} {R_2} + C \ left (1+ \ frac {R_1} {R_2} \ right) \ frac {\ text {d} V_ \ text {C}} {\ text {d} t} + \ frac {1} {L} \ left [\ int V_ \ text {C} \: \ text {d} t + R_1 \: C \ int \ text {d} V_ \ text {C} \ right] & = \ frac {V_ \ text {C}} {R_1} \\\\ \ frac {V_ \ text {C}} {R_2} + C \ left (1+ \ frac {R_1} {R_2} \ right) \ frac {\ text {d} V_ \ text {C}} {\ text { d} t} + \ frac {1} {L} \ left [\ int V_ \ text {C} \: \ text {d} t + R_1 \: C \ int \ text {d} V_ \ text {C} \ right] & = 0 \ end {align *} $$

, ahora toma todo con respecto al derivado del tiempo:

$$ \ begin {align *} \ frac {1} {R_2} \ frac {\ text {d} V_ \ text {C}} {\ text {d} t} + C \ left (1+ \ frac {R_1} {R_2} \ right) \ frac {\ text {d} ^ 2 V_ \ text {C}} {\ text {d} t ^ 2} + \ frac {1} {L} \ left [V_ \ text {C} + R_1 \: C \ frac {\ text {d} V_ \ text {C}} {\ text {d} t} \ right] & = 0 \\\\ C \ left (1+ \ frac {R_1} {R_2} \ right) \ frac {\ text {d} ^ 2 V_ \ text {C}} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {1} {R_2} + \ frac {R_1 \: C} {L} \ right) \ frac {\ text {d} V_ \ text {C}} {\ text {d} t} + \ frac {V_ \ texto {C}} {L} & = 0 \\\\ \ end {align *} $$

Usted puede poner eso fácilmente en forma estándar y resolverlo utilizando el método habitual de diferencias de segundo orden o, si no, usar Laplace.