Derivar corriente a través de la fórmula del inductor de "carga"

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

Al igual que en el caso del condensador, hay tres pasos:

1. Escriba una ecuación KVL que conduzca a una ecuación diferencial.
2. Resuelve la ecuación diferencial.
3. Aplique la condición inicial del circuito para obtener la solución particular.

La ecuación KVL se puede escribir simplemente como

$$ V_i = v_L + v_R $$

Sin embargo, la ecuación para un inductor es ligeramente diferente de un condensador. Aquí, el flujo viene dado por \ $ \ Phi = L \ cdot i \ $ , y el EMK generado por este flujo es \ $ v_L = \ frac {d \ Phi} {dt} = L \ frac {di_L} {dt} \ $ . Alternativamente, también puedes escribir eso

$$ i_L = \ frac {1} {L} \ int_0 ^ t v_L (u) du + i_L (0) $$

La resistencia y el inductor comparten la misma corriente, por lo que

$$ \ begin {align} i_R & = i_L \\ & \ Downarrow \\ v_R & = R \ cdot i_R = R \ cdot i_L \\ & \ Downarrow \\ v_R & = \ frac {R} {L} \ int_0 ^ t v_L (u) du + R \ cdot i_L (0) \ end {align} $$

Podemos poner esto en la ecuación KVL:

$$ \ begin {align} V_i & = v_R + v_L \\ & \ Downarrow \\ V_i & = \ frac {R} {L} \ int_0 ^ t v_L (u) du + R \ cdot i_L (0) + v_L \\ & \ Downarrow \\ V_i - R \ cdot i_L (0) & = \ frac {R} {L} \ int_0 ^ t v_L (u) du + v_L \ end {align} $$

Podemos encontrar la solución integrando primero ambos lados de la ecuación.

$$ \ frac {d (V_i - R \ cdot i_L (0))} {dt} = 0 = \ frac {R} {L} v_L + \ frac {dv_L} {dt} $$

Podemos resolver esto de la siguiente manera:

$$ \ begin {align} - \ frac {R} {L} v_L & = \ frac {dv_L} {dt} \\ & \ Downarrow \\ - \ frac {R} {L} dt & = \ frac {dv_L} {v_L} \\ & \ Downarrow \\ - \ frac {R} {L} \ int_0 ^ tdt & = \ int_ {v_L (0)} ^ {v_L (t)} \ frac {1} {v_L} dv_L \\ & \ Downarrow \\ - \ frac {R} {L} t & = \ left [\ ln (v_L) \ right] _ {v_L (0)} ^ {v_L (t)} \\ & \ Downarrow \\ - \ frac {R} {L} t & = \ ln \ left (\ frac {v_L (t)} {v_L (0)} \ right) \\ & \ Downarrow \\ v_L (0) e ^ {- \ frac {R} {L} t} & = v_L (t) \ end {align} $$

\ $ v_L (0) \ $ es el voltaje en el inductor en \ $ t = 0 \ $ , que es igual a \ $ V_i - R \ cdot i_L (0) \ $ .

Entonces, si el inductor comienza a descargarse, es decir. \ $ i_L (0) = 0 \ $ , luego \ $ v_L (0) = V_i - R \ cdot i_L ( 0) = V_i \ $ , y la fórmula se convertirá en

$$ v_L (t) = V_ie ^ {- \ frac {R} {L} t} $$

Si el inductor ya tenía una corriente anterior y \ $ V_i \ $ de repente se pone a 0, entonces \ $ v_L (0) = 0 - R \ cdot i_L (0) = -R \ cdot i_L (0) \ $ y la solución se convertirá en

$$ v_L (t) = -R \ cdot i_L (0) \ cdot e ^ {- \ frac {R} {L} t} $$

Un 'truco' útil para dar a la función de salida, \ $ \ small f (t) \ $ , de un sistema de primer orden sujeto a un cambio de paso de función de entrada, es:

$$ \ small f (t) = final \: value + (inicial \: value - final \: value) e ^ {- t / \ tau} $$ o $$ \ small f (t) = f (\ infty) + (f (0) - f (\ infty)) e ^ {- t / \ tau} $$ .

Los valores iniciales y finales, y la constante de tiempo generalmente se pueden encontrar por inspección.

En este caso particular, el valor inicial de current es \ $ \ small i (0) = 0 \ $ ; el valor final es \ $ \ small i (\ infty) = \ frac {V_i} {R} \ $ ; y la constante de tiempo es \ $ \ small \ tau = \ frac {L} {R} \ $ . Por tanto, $$ \ small i (t) = \ frac {V_i} {R} + (0 - \ frac {V_i} {R}) e ^ {- Rt / L} $ $

o $$ \ small i (t) = \ frac {V_i} {R} (1 -e ^ {- Rt / L}) $$