¿Cómo obtener la respuesta de fase de un sistema LTI arbitrario?

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Si tengo una respuesta de frecuencia (de un sistema de tiempo discreto) compuesta de varias exponenciales complejas como $$ H (e ^ {j \ omega}) = A_0 + A_1 e ^ {- j \ omega} + A_2 e ^ {- j \ omega t 2} + A_3 e ^ {- j \ omega 3} + ... $$ ¿Cómo puedo determinar su respuesta de fase? No puedo agregarlos como fasores porque son frecuencias diferentes. Aquí hay un ejemplo en mi libro de texto: $$ H (e ^ {j \ omega}) = 1 + 2e ^ {- j \ omega} + e ^ {- j \ omega 2} = (2 + 2 \ cos {\ omega}) e ^ {- j \ omega} \ implica \ angle H (e ^ {j \ omega}) = - \ omega $$ Aquí, manipulan la respuesta para que la respuesta de fase parezca obvia, pero me gustaría saber si hay una forma más algorítmica de obtener la respuesta de fase observando la superposición de las exponenciales o algo así. No encuentro que los "trucos" que utilizan sean muy intuitivos para obtener la respuesta de fase.

    
pregunta hesson

2 respuestas

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Supongo que está intentando obtener un diagrama de Bode que muestra la magnitud y la respuesta de fase que obtendría si probara el sistema barriendo lentamente la frecuencia de una entrada de onda sinusoidal de amplitud constante y midiendo la amplitud de salida y fase en varios puntos.

Si este es el caso, solo hay una frecuencia \ $ \ omega \ $. Ahora sabemos que \ $ e ^ {j \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ cdot sin (\ theta) \ $.

Por lo tanto, puedes tratar cada término exponencial como un vector con amplitud y fase y agregarlos como vectores.

Sin embargo, tenga en cuenta que si compara los resultados con un filtro digital real, no obtendrá exactamente el mismo resultado porque el filtro digital solo toma mediciones en ciertos instantes en el tiempo (la frecuencia de muestreo) y los datos se cuantifican. Sin embargo, proporcionar la frecuencia de muestreo es mucho mayor que la frecuencia de interés, es una aproximación razonable.

    
respondido por el Warren Hill
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Para una frecuencia fija \ $ \ omega \ $, la respuesta de frecuencia \ $ H (e ^ {j \ omega}) \ $ es simplemente un número complejo. Por lo tanto, calcula la fase \ $ \ phi (\ omega) \ $ como el argumento de este número complejo:

$$ \ phi (\ omega) = \ arctan \ left (\ frac {\ Im (H (e ^ {j \ omega}))} {\ Re (H (e ^ {j \ omega})) } \ derecha) \ etiqueta {1} $$

Esta fórmula solo te da la idea, no deberías implementarla así, porque dependiendo de los signos de las partes reales e imaginarias de \ $ H (e ^ {j \ omega}) \ $ es posible que necesites agregar o resta \ $ \ pi \ $ para obtener el resultado correcto. En muchos lenguajes de programación, todos estos casos diferentes se tratan adecuadamente con la función \ $ \ tt {atan2 ()} \ $. Echa un vistazo a esto .

    
respondido por el Matt L.

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