La señal PAM \ $ s (t) \ $ es una suma ponderada de funciones \ $ h (t) \ $, donde los pesos son las muestras de la señal \ $ m (t) \ $:
$$ s (t) = \ sum_km (kT_s) h (t-kT_s) $$
Esto se puede modelar como una multiplicación de \ $ m (t) \ $ por un peine de impulsos de Dirac, convuelto con \ $ h (t) \ $:
$$ s (t) = \ left (m (t) \ sum_k \ delta (t-kT_s) \ right) * h (t) \ tag {1} $$
De (1) se deduce que el espectro \ $ S (f) \ $ está dado por
$$ S (f) = \ left (M (f) * f_s \ sum_k \ delta (f-kf_s) \ right) \ cdot H (f) =
f_s \ sum_kM (f-kf_s) H (f) \ tag {2} $$
donde he hecho uso del hecho de que la convolución en un dominio corresponde a la multiplicación en el otro dominio, y que un peine de Dirac en un dominio corresponde a un peine de Dirac en el otro dominio (puede encontrar esto en la mayoría de Fourier tablas de transformación). \ $ M (f) \ $ y \ $ H (f) \ $ son, por supuesto, los espectros de \ $ m (t) \ $ y \ $ h (t) \ $, respectivamente. Entonces, el espectro \ $ S (f) \ $ es la suma de los espectros desplazados \ $ M (f-kf_s) \ $, multiplicada por el espectro \ $ H (f) \ $. Para dibujar \ $ S (f) \ $ necesita saber \ $ M (f) \ $ y \ $ H (f) \ $:
$$ M (f) = \ frac {A_m} {2} [\ delta (f-f_m) - \ delta (f + f_m)] \\
H (f) = T \ frac {\ sin (\ pi Tf)} {\ pi fT} e ^ {- j \ pi Tf} $$
Para dibujar \ $ S (f) \ $ simplemente ignora el término de fase \ $ e ^ {- j \ pi Tf} \ $ of \ $ H (f) \ $, por lo que solo necesitas saber que magnitud \ $ | H (f) | \ $ es la magnitud de una función sinc con \ $ H (0) = T \ $ y con ceros en \ $ f_k = k / T \ $, \ $ k = \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \ $ (tenga en cuenta que \ $ T \ neq T_s \ $!).
Para (b) simplemente elimine todos los espectros cambiados (eso es lo que hace el filtro ideal de reconstrucción de paso bajo), por lo que a partir de (2) queda con \ $ f_sM (f) H (f) \ $ en la frecuencia rango \ $ [0, f_s / 2] \ $.
Para la pregunta 2, solo necesita mostrar que si \ $ s_1 (t) \ $ y \ $ s_2 (t) \ $ son las señales PAM correspondientes a las señales \ $ m_1 (t) \ $ y \ $ m_2 ( t) \ $, respectivamente, entonces \ $ as_1 (t) + bs_2 (t) \ $ es la señal PAM correspondiente a la señal \ $ am_1 (t) + bm_2 (t) \ $ para constantes arbitrarias \ $ a \ $ y \ $ b \ $. Esto también es obvio porque la generación de la señal PAM solo involucra la multiplicación y la convolución, por lo que es un proceso lineal.