¿Una onda triangular tendría componentes sinusoidales finitos o infinitos?

  

una onda triangular es continua

Cita de aquí : -

  

La onda triangular no tiene saltos discontinuos, pero la pendiente cambia   discontinuamente dos veces por ciclo

El cambio discontinuo de la pendiente también significa un rango infinito de componentes sinusoidales.

Por ejemplo, si integras una onda cuadrada en el tiempo, generas una onda triangular, pero todas las hamónicas de la onda cuadrada original siguen presentes después de la integración de tiempo: -

dijo que, dado que la onda triangular es continua, se puede representar con un número finito de seno

O bien no entendiste bien o el instructor habló mal. No es suficiente que la señal sea continua, pero todas las derivadas también deben ser continuas. Si hay alguna discontinuidad en cualquier derivado, entonces la señal de repetición tendrá una serie infinita de armónicos.

Un triángulo es continuo, pero su primera derivada es una onda cuadrada, que no es continua. Una onda triangular, por lo tanto, tiene una serie infinita de armónicos.

Prueba de matemáticas:

Tome una función compuesta por la suma ponderada de una serie finita de componentes seno / coseno.

Su derivado también es una suma ponderada de una serie finita de componentes seno / coseno. Lo mismo si derivas cualquier cantidad de veces.

Como el seno y el coseno son continuos, la función y todos sus derivados son continuos.

Por lo tanto, una función que tenga una discontinuidad en cualquiera de sus derivados no puede construirse con una serie finita de componentes seno / coseno.

Las buenas respuestas abundan aquí, pero realmente depende de su interpretación de "se puede representar con" .

Uno tiene que entender que una onda triangular es una construcción matemática teórica que en realidad no puede existir en la realidad.

Hablando matemáticamente, para obtener una onda de triángulo pura necesitarías un número infinito de ondas sinusoidales armónicas, pero para obtener una representación de una onda de triángulo, la mayoría de esos componentes son demasiado pequeños para ser importantes, perderse en el fondo El ruido del sistema, o son de una frecuencia tan alta que ya no pueden transmitirse.

Como tal, en la práctica, solo necesita un número finito para obtener una representación utilizable. Lo bueno que desea que la representación dicta cuántos armónicos necesita usar.

Otro enfoque.

Llamemos a x (t) la onda triangular e y (t) es derivada, que es una onda cuadrada, por lo tanto, discontinua.

Si x (t) fuera una suma finita de señales sinusoidales, su derivada, por la linealidad de esa operación, sería una suma finita de derivadas de señales sinusoidales, es decir, una suma finita de señales sinusoidales.

Pero esta última señal no puede ser la onda cuadrada y (t), porque una suma finita de señales sinusoidales es continua. Por eso tenemos una contradicción.

Por lo tanto, x (t) debe tener infinitos componentes de Fourier.

El conjunto de funciones que se pueden expresar mediante una serie de Fourier finita son:

$$ F: = \ {f (x) = a_0 + \ sum_ {n} ^ {n \ en N} (a_n \ cos {nx} + b_n \ sin {nx}) \} $$

Para todos los conjuntos finitos de índices N . La diferenciación término por término muestra que la derivada es (1) continua y (2) también en F . Como la derivada de la onda triangular no es continua, la función de la onda triangular no está en F .

Esta prueba se basa en la discontinuidad, pero la mayoría de las funciones continuas tampoco pertenecen a F . Como ninguna función polinomial o exponencial puede expresarse como una suma finita de senos y cosenos, los únicos miembros de F son aquellos escritos explícitamente en la forma anterior.

Propongo una prueba mucho más simple para ser usada en la práctica. Si la ola tiene esquinas afiladas, se requieren infinitos componentes sinusiodales para construir.

¿Por qué? Porque una serie finita de sinusiods no puede hacer una esquina aguda. Esto se demuestra por inducción en la regla de descomposición de sumas (es decir, Σ (a + b) =) a + Σ b para todas las sumas finitas y todas las sumas infinitas incondicionalmente convergentes).