Energía absorbida por el condensador

¡Primero que nada, tienes tus fórmulas de energía incorrectas!

\ $ E_C (t) = \ dfrac 1 2 C \, v_C ^ 2 (t) \ $

y

\ $ E_L (t) = \ dfrac 1 2 L \, i_L ^ 2 (t) \ $

Pero esto intrascendente.

Su error radica en la integración, porque está descuidando las condiciones iniciales en el condensador. El problema es que la fórmula correcta para expresar el voltaje en un capacitor dada la corriente es:

\ $ v_C (t) = \ dfrac 1 C \ int _ {- \ infty} ^ t i (\ tau) \, d \ tau = \ dfrac 1 C \ int_ {t_0} ^ t i (\ tau) \, d \ tau + v_C (t_0) \ $

donde \ $ t_0 \ $ es un instante de tiempo arbitrario antes de la hora en que está evaluando el voltaje, es decir, \ $ t_0 < t \ $.

Entonces, incluso si la corriente es 0 en el intervalo \ $ [t_0, t] \ $, todavía tiene un voltaje \ $ v_C (t_0) \ $ a través del límite que representa su energía almacenada. La corriente en el condensador solo cuenta para el cambio de voltaje entre los dos instantes \ $ t_0 \ $ y \ $ t \ $. Si la corriente es 0, la tensión no cambiará, pero si inicialmente no era cero, seguirá siendo la misma, como la energía almacenada en ella (fuga de barras, en la práctica).

EDIT

(Para ser más precisos, en respuesta a un comentario)

\ $ v_C (t_0) = \ dfrac 1 C \ int _ {- \ infty} ^ {t_0} i (\ tau) \, d \ tau \ $

La integral representa la carga neta acumulada en la placa de referencia del capacitor en el intervalo \ $ (- \ infty, t_0] \ $. Este modelo asume implícitamente que el capacitor no se cargó inicialmente, es decir, mucho tiempo antes de \ $ t_0 \ $. Para ser más específicos, se supone que \ $ v_C (- \ infty) = 0 \ $.

Si se pregunta de dónde viene esta relación, es de la "inversión" de la relación V-I del capacitor :

\ $ i (t) = C \ dfrac {dv_C (t)} {dt} \ $

que, suponiendo que i (t) es una función conocida, es una ecuación diferencial lineal ordinaria no homogénea de primer orden de tipo simple. Puedes resolverlo usando el método de separación de variables:

\ $ dv_C (t) = \ dfrac 1 C i (t) \, dt \ $

Que se puede integrar en el intervalo \ $ (- \ infty, t] \ $, produciendo:

\ $ v_C (t) = \ dfrac 1 C \ int _ {- \ infty} ^ {t} i (\ tau) \, d \ tau \ $

La minúscula por lo general representa i (t) en algún momento específico en el tiempo.

Si i (t) = 0 en algún tiempo específico t, eso no le dice nada sobre el voltaje a través del capacitor. Todo lo que sabe es que el voltaje en el condensador más el voltaje en el inductor debe sumar el voltaje en los dos terminales inferiores (sea lo que sea).

Supongamos que el condensador está cargado a 1V. Entonces la energía almacenada en el capacitor es C / 2 con i (t) = 0 para todo t. Esta es la constante arbitraria que omitiste cuando hiciste (incorrectamente) la integración.

La energía en el condensador es \ $ CV ^ 2/2 \ $ La energía en el inductor es \ $ LI ^ 2/2 \ $

Si sabe que Vc (t) = 0 en el tiempo = 0 y que i (t) = 0 para 0 \ $ \ le \ $ t < \ $ \ infty \ $ entonces puede decir que la energía almacenada en el condensador es 0 para cualquier t \ $ \ ge \ $ 0;