¿Cómo afecta la conversión entre la admitancia y la impedancia al ángulo de fase?

Puede analizar la notación fasorial de forma cartesiana cuasi 2D. La parte real es la "x", y la parte compleja es la "y".

Entonces, dada una magnitud fasor M con un ángulo Theta,

Usando trig: \ begin {equation} R = M \ cos (\ theta) \\ X = M \ sin (\ theta) \ end {ecuación}

Ahora tenemos la impedancia compleja R + Xj

Para invertir, puedes multiplicar por el conjugado complejo (R - Xj) para el numerador y el denominador.

\ begin {equation} Y = \ frac {R - Xj} {(R + Xj) (R - Xj)} = \ frac {R - Xj} {R ^ 2 + X ^ 2} \ end {ecuación}

Para calcular la magnitud de la admitancia, use la fórmula de distancia:

\ begin {equation} M_Y = \ sqrt {\ left (\ frac {R} {R ^ 2 + X ^ 2} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {-X} {R ^ 2 + X ^ 2} \ right) ^ 2} \ end {ecuación}

Y la fase de la admisión:

\ begin {equation} \ theta_Y = \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {-X} {R} \ right) \ end {ecuación}

Tenga en cuenta que la tangente es un poco complicada para calcular el ángulo del fasor, ya que debe tener cuidado con el cuadrante. Si está utilizando una computadora, a menudo tienen una función "atan2" que toma las coordenadas x e y directamente y calcula el ángulo de CCW desde el eje X positivo.

Una mirada más cercana al mapeo del ángulo de fase, y parece que el ángulo de fase de admitancia es solo el reflejo del ángulo de fase de impedancia sobre el eje real / X.

Por ejemplo, un ángulo de fase de impedancia de 45 grados es igual a un ángulo de fase de admisión de -45 grados.

Y esto tiene sentido si hubiera usado algunas identidades arriba:

\ begin {equation} \ theta_Y = - \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {X} {R} \ right) = - \ theta_X \ end {ecuación}

Si recuerdo correctamente, el ángulo de fase simplemente cambia el signo y esa intensidad disminuye. Entonces, si tuvieras una impedancia de 10 ohmios a 45 grados, obtendrías una admisión de alrededor de 0.1 siemens a -45 grados.

Tenemos en cuenta que \ $ j = \ sqrt {-1} \ $.

Veamos si puedo derivar eso:

\ $ Y = Z ^ {- 1} = \ dfrac {1} {R + jX} = \ dfrac {1} {R + jX} \ dfrac {R-jX} {R-jX} = \ dfrac {R-jX} {R ^ 2 + RjX -RjX - j ^ 2X ^ 2} = \ dfrac {R-jX} {R ^ 2 + X ^ 2} = \ dfrac {R} {R ^ 2 + X ^ 2} + j \ dfrac {-X} {R ^ 2 + X ^ 2} = G + jB \ $

Por lo tanto, el ángulo cambió debido a que el signo en frente de la parte imaginaria cambió. La intensidad disminuyó porque obtuvimos el componente \ $ R ^ 2 + X ^ 2 \ $. No hubo ningún cambio en el valor absoluto del ángulo porque disminuimos las partes reales e imaginarias en la misma cantidad, por lo que su relación se mantuvo igual. El ángulo de fase para la admisión es \ $ \ arctan \ left (\ frac {B} {G} \ right) \ $ y como dividimos ambos componentes por el mismo número, el valor absoluto de la proporción se mantuvo constante.

Una forma "rápida" de obtener la parte \ $ R ^ 2 + X ^ 2 \ $ sería calcular el seno y el coseno del ángulo multiplicado por la intensidad. Entonces, si tenemos \ $ Z = \ vert Z \ vert e ^ {\ alpha} \ $ usaríamos \ $ R ^ 2 = [\ vert Z \ vert \ cos (\ alpha)] ^ 2, X ^ 2 = [\ vert Z \ vert \ sin (\ alpha)] ^ 2 \ $ que debería ser bastante fácil de hacer con una calculadora simple. Luego, sumamos esos dos, dividimos la intensidad usándolos y cambiamos el ángulo para que obtengamos:

\ $ Y = \ dfrac {1} {\ vert Z \ vert \ e ^ {a}} = \ dfrac {\ vert Z \ vert} {[\ vert Z \ vert \ cos (\ alpha)] ^ 2 + [\ vert Z \ vert \ sin (\ alpha)] ^ 2} e ^ {- \ alpha} = \ dfrac {1} {\ vert Z \ vert [\ cos ^ 2 (\ alpha) + sin ^ 2 (\ alpha)]} e ^ {- \ alpha} = \ dfrac {1} {\ vert Z \ vert} e ^ {- \ alpha} \ $

lo que debería haber sido obvio para mí desde el principio.

La fórmula final para la conversión rápida es: \ $ Y = \ dfrac {1} {\ vert Z \ vert \ e ^ {a}} = \ dfrac {1} {\ vert Z \ vert} e ^ {- \ alpha} \ $

Sí, hay una manera más fácil. ¿Si tienes que tenerlo en forma compleja?

(1) Convierta 10 / _40 a 7.6604 + 6.4279i.

Luego tome el recíproco (1 / (7.6604 + 6.4279i)) = 0.76604-0.06427i. Incluso un Casio fx-115ES Plus barato lo hará rápido.

(Establezca en Formato complejo) e ingrese 10 / 40 - > Ingrese, luego tome el recíproco y obtenga 0.1 / -40. Casio lo convertirá de nuevo a complejo \ $ R + jX \ $ si lo necesitas.

También puede hacerlo de esta manera (esférica):

Dado \ $ Z = \ frac {10} {40} \ $ ohms: \ $ R = 10 \ cos (40) \ $ y \ $ X = 10 \ sin (40) \ $

\ $ Z = 10 \ cos (40) + j10 \ sin (40) = 7.6604 + j6.4279 \ $