¿Existe una ecuación para la frecuencia de corte de un filtro chebyshev?

La definición habitual de la frecuencia de corte de un (tipo I) Chebyshev filter se muestra en la figura abajo:

  

Laprácticacomúndedefinirlafrecuenciadecortea−3dBgeneralmentenoseaplicaalosfiltrosdeChebyshev;encambio,ellímitesetomacomoelpuntoenelquelagananciacaealvalordelaondulaciónporúltimavez.

ConocerlascaracterísticasdeunfiltroChebyshevayudaacalcularlafrecuenciadecorte(comosedefineanteriormente)sinresolverdemaneraexplícitalaecuación\$|H(j\omega_0)|=c\$,dondelaconstante\$c\$seeligedeacuerdoconladefinicióndelafrecuenciadecorte.

LamagnitudalcuadradodelarespuestadefrecuenciadeunfiltroChebyshevde\$n^{th}\$tipodeordenvienedadapor

$$|H(j\omega)|^2=\frac{1}{1+\epsilon^2T^2_n(\frac{\omega}{\omega_0})}\tag{1}$$

donde\$T_n(\omega)\$esel\$n^{th}\$-orden polinomio de Chebyshev del primer tipo , \ $ \ omega_0 \ $ es la frecuencia de corte como se definió anteriormente, y la constante \ $ \ epsilon \ $ especifica la ondulación de la banda de paso, como se muestra en la figura anterior. Debe conocer el valor exacto de \ $ \ epsilon \ $ en sus especificaciones de diseño, pero puedo estimarlo a partir de su figura: \ $ \ epsilon \ approx 0.23403 \ $ (tenga en cuenta que debe tener en cuenta que el máximo de su la función de transferencia es \ $ \ frac12 \ $ en lugar de \ $ 1 \ $, por lo que el valor más pequeño (lineal) de la banda de paso viene dado por \ $ 0.5 / \ sqrt {1+ \ epsilon ^ 2} \ $).

Para encontrar \ $ \ omega_0 \ $ necesitamos comparar la expresión de la función de transferencia real con la dada por (1). Es un ejercicio básico para mostrar que la función de transferencia de su filtro es

$$ H (s) = \ frac {\ frac12} {\ frac {L ^ 2C} {2R} s ^ 3 + LCs ^ 2 + (\ frac {L} {R} + \ frac {RC} {2}) s + 1} \ tag {2} $$

Sabiendo que \ $ T_3 (x) \ $ está dado por

$$ T_3 (x) = 4x ^ 3-3x \ tag {3} $$

podemos comparar los factores del mayor poder de \ $ \ omega \ $ (que es \ $ \ omega ^ 6 \ $) de los denominadores de (1) y de la magnitud al cuadrado de (2) para \ $ s = j \ omega \ $:

$$ \ frac {16 \ epsilon ^ 2} {\ omega_0 ^ 6} = \ left (\ frac {L ^ 2C} {2R} \ right) ^ 2 \ tag {4} $$

Desde (4) \ $ \ omega_0 \ $ se puede expresar como

$$ \ omega_0 = \ sqrt [3] {\ frac {8R \ epsilon} {L ^ 2C}} \ approx 3829.7 \ text {rad / s} \ tag {5} $$

donde he usado el valor aproximado de \ $ \ epsilon \ $ dado anteriormente.

No importa cómo se diseñó el filtro. Una vez que tiene un diseño específico, anote la ecuación para su respuesta de frecuencia y resuelva la frecuencia a la que la respuesta cae a la mitad de la potencia (-3 dB), que es la definición de frecuencia de corte.

Matlab es muy bueno para encontrar las raíces de las ecuaciones polinomiales.

Si no necesita mucha precisión, simplemente lea el valor del gráfico. Dado que la respuesta de voltaje máximo es 0.5, busque el punto en el que la curva cruza el nivel de 0.35 (0.5 / √2), que está apenas por debajo de los 5000 rad / s.

La frecuencia de corte es ligeramente inferior a 5 kHz: -

Ese es el punto donde la señal de salida cae a la mitad del punto de potencia, es decir, 3 dB por debajo de la señal de entrada. Si necesita una respuesta más precisa, haga los cálculos en el filtro y encuentre el punto de poder medio de esa manera.