¿Cómo visualiza la frecuencia negativa en el dominio del tiempo?

Las FFT funcionan al tratar las señales como bidimensionales, con partes reales e imaginarias. ¿Recuerdas el círculo unitario ? Las frecuencias positivas son cuando el fasor gira en sentido contrario a las agujas del reloj, y las negativas son cuando el fasor gira en el sentido de las agujas del reloj.

Si desecha la parte imaginaria de la señal, se perderá la distinción entre las frecuencias positivas y negativas.

Por ejemplo ( fuente ):

Si tuviera que trazar la parte imaginaria de la señal, obtendría otra sinusoide, fase desplazada con respecto a la parte real. Observe cómo si el fasor girara hacia el otro lado, la señal superior sería exactamente la misma, pero la relación de fase de la parte imaginaria con la parte real sería diferente. Al desechar la parte imaginaria de la señal, no tiene forma de saber si una frecuencia es positiva o negativa.

En el dominio del tiempo, una frecuencia negativa se representa mediante una inversión de fase.

Para una onda de coseno, no hay ninguna diferencia, ya que de todos modos es simétrico alrededor de cero. Comienza en 1 y cae a cero en cualquier dirección.

$$ cos (t) = cos (-t) $$

Sin embargo, una onda sinusoidal comienza con un valor de cero en el tiempo cero y aumenta en la dirección positiva, pero cae en la dirección negativa.

$$ sin (t) = -sin (-t) $$

Aquí hay un enfoque ligeramente diferente. Veamos qué función periódica tiene la transformada de Fourier exactamente con la frecuencia \ $ - 1 \ $.

Es la función \ $ t \ mapsto e ^ {- 2 \ pi \ mathrm {i} t} = \ cos (-2 \ pi t) + \ mathrm {i} \ sin (-2 \ pi t ) = \ cos (2 \ pi t) - \ mathrm {i} \ sin (2 \ pi t) \ $ para \ $ t \ en [0,1] \ $.

Observe que esta función tiene la misma parte real que la función \ $ t \ mapsto e ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t} \ $. Esta última función tiene un solo componente de frecuencia: la frecuencia \ $ 1 \ $.

La razón por la que aparecen estas frecuencias negativas cuando se consideran solo señales reales es porque proporcionan una manera más fácil de describir valores propios estrictamente complejos de la acción del círculo unitario en su espacio de funciones.

Editar: Para ampliar el último comentario, para hacer un análisis de frecuencia, lo que realmente deseamos hacer es tomar el espacio de las funciones de valor real en \ $ [0,1] \ $, \ $ F ([0, 1], \ mathbb {R}) \ $ y poder expresar cualquier función \ $ f \ en F ([0,1], \ mathbb {R}) \ $ en términos de alguna base natural de \ $ F ( [0,1], \ mathbb {R}) \ $. Estamos de acuerdo en que realmente no es mucho si comenzamos nuestro período es de \ $ 0 \ $ a \ $ 1 \ $ o \ $ 1/2 \ $ a \ $ 3/2 \ $ por lo que realmente desearíamos que esta base se comporte bien con con respecto al operador de turno \ $ f (x) \ mapsto f (a + x) \ $.

El problema es que, con los adjetivos apropiados, \ $ F ([0,1], \ mathbb {R}) \ $ no es una suma directa de funciones que se comportan bien con respecto al desplazamiento. Es una suma directa (completada) de espacios vectoriales bidimensionales que se comportan bien con respecto al operador de cambio. Esto se debe a que la matriz que representa el mapa \ $ f (x) \ mapsto f (a + x) \ $ tiene valores propios complejos. Estas matrices serán diagonales (en una base apropiada) si complejizamos la situación. Es por eso que estudiamos \ $ F ([0,1], \ mathbb {C}) \ $ en su lugar. Sin embargo, la introducción de números complejos tiene una penalización: obtenemos un concepto de frecuencias negativas.

Todo esto es un poco abstracto, pero para ver en concreto de lo que estoy hablando, considere mis dos funciones favoritas: $$ \ cos (2 \ pi t) = \ frac {1} {2} (e ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t} + e ^ {- 2 \ pi \ mathrm {i} t}) $ PS $$ \ sin (2 \ pi t) = \ frac {1} {2 \ mathrm {i}} (e ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t} - e ^ {- 2 \ pi \ mathrm {i } t}) $$

Considere el cambio por \ $ \ frac {1} {4} \ $, \ $ s (f (x)) = f (x + \ frac {1} {4}) \ $. $$ s (\ cos (2 \ pi t)) = - \ sin (2 \ pi t) $$ $$ s (\ sin (2 \ pi t)) = \ cos (2 \ pi t) $$
El espacio real del espacio vectorial de \ $ \ cos (2 \ pi t) \ $ y \ $ \ sin (2 \ pi t) \ $ es un espacio vectorial bidimensional de funciones que se conserva mediante \ $ s \ $. Podemos ver que \ $ s ^ 2 = -1 \ $ para que \ $ s \ $ tenga valores propios \ $ \ pm \ mathrm {i} \ $

Este espacio bidimensional de funciones no se puede descomponer en eigenspaces para \ $ s \ $ a menos que lo complejicemos. En este caso, los vectores propios serán \ $ e ^ {2 \ pi \ mathrm {i} t} \ $ y \ $ e ^ {- 2 \ pi \ mathrm {i} t} \ $.

Para resumir, comenzamos con dos frecuencias positivas pero para diagonalizar la acción de \ $ s \ $ tuvimos que agregar la función de frecuencia negativa \ $ e ^ {- 2 \ pi \ mathrm {i} t} \ $.

" ¿Cómo visualiza la frecuencia negativa en el dominio del tiempo? "

Interpreto esta pregunta de la siguiente manera: ¿Existen las frecuencias negativas en la realidad?

Si esta interpretación es correcta (y cumple con el núcleo de la pregunta), mi respuesta es simplemente: NO, no existen.

Más que eso (para ser un poco "sofisticado") - las "frecuencias" no pueden existir porque no son una cantidad física. En cambio, tenemos ondas sinusoidales con algunas propiedades específicas, y una de estas propiedades es el número de períodos por segundo. Y eso es lo que llamamos "frecuencia". Y este número no puede ser negativo.

Por lo tanto, la introducción de señales que tienen "frecuencias negativas" puede tener muchas ventajas, pero es una "herramienta" puramente abstracta y teórica que permite simplificaciones de expresiones / descripciones matemáticas.

Una excelente manera de visualizar frecuencias negativas es modular la señal original. Digamos que tienes una onda sinusoidal con frecuencia \ $ \ omega_0 \ $ (en radianes):

$$ x (t) = \ sin (\ omega_0t) $$

El espectro de esta señal tiene un pico en \ $ \ omega = \ omega_0 \ $ y uno en la frecuencia negativa \ $ \ omega = - \ omega_0 \ $.

Al modular la señal \ $ x (t) \ $, básicamente cambia el espectro original por la frecuencia de la portadora \ $ \ omega_c > \ omega_0 \ $:

$$ y (t) = x (t) \ cos (\ omega_ct) = \ sin (\ omega_0t) \ cos (\ omega_ct) = \ frac {1} {2} [\ sin (\ omega_c + \ omega_0 ) t- \ sin (\ omega_c- \ omega_0) t] $$

Ahora el pico negativo original en \ $ - \ omega_0 \ $ se ha vuelto visible después de haberlo desplazado \ \ \ omega_c \ $. Ahora está en \ $ \ omega = \ omega_c- \ omega_0 \ $. El pico en las frecuencias positivas no está en \ $ \ omega = \ omega_c + \ omega_0 \ $.