Aquí tengo un circuito que debe resolverse utilizando solo la entrada directa en una matriz utilizando el método de voltaje de nodo.
Aquíestámiintentoderesolverlo,laslíneasazulesseparancadaentradadematriz.Mepreguntosihayunamejormaneraderesolverlo,osicometíunerroroalgo.Nocreoquelohicecorrectamenteengranpartedebidoala\$3V_1\$eneltérmino\$b_{33}\$delamatriz.
Creo que necesitas \ $ - 3 \ cdot V_1 \ $ en la primera columna, tercera fila; eliminándolo de la tercera columna, tercera fila. (Es entrante, tan negativo, si tomo sus otros signos para ser correctos). Ya que la primera columna implica \ $ V_1 \ $, solo pondría \ $ - 3 \ $ allí, no \ $ - 3 \ cdot V_1 \ $, de acuerdo con su notación. Creo que necesitas asociar las columnas con los nodos y no hiciste eso allí. El resto de esa fila me parece bien.
Miré la primera y la segunda fila y también me quedan bien. No miré la cuarta fila, pero como no lo preguntaste y te fue muy bien en otros lugares, lo dejaré sin marcar por ahora.
La segunda fila que obtuve fue:
$$ \ begin {align *} \ left [- \ frac {V_1} {R_2} \ right] + \ left [\ frac {V_2} {R_2} + C_1 \ frac {\ textrm {d} V_2} {\ textrm {d} t} + C_2 \ frac {\ textrm {d} V_2} {\ textrm {d} t} \ right] + \ left [- C_2 \ frac {\ textrm {d} V_3} {\ textrm {d} t} \ right] + \ left [0 \ cdot V_4 \ right] & = 0 \ end {align *} $$
La tercera fila que obtuve fue:
$$ \ begin {align *} \ left [-3 \ cdot V_1 \ right] + \ left [- C_2 \ frac {\ textrm {d} V_2} {\ textrm {d} t} \ right] + \ left [\ frac {V_3} {R_3} + C_2 \ frac {\ textrm {d} V_3} {\ textrm {d} t} + \ frac {1} {L_1} \ int V_3 \; \ textrm {d} t \ right] - \ left [\ frac {1} {L_1} \ int V_4 \; \ textrm {d} t \ right] = 0 \ end {align *} $$
El resistor R1 se desvía por una fuente de voltaje para que pueda eliminarse de manera segura sin interferir con el voltaje.
El siguiente paso sería usar el equivalente de Norton para V1 y R2. De esta manera, puede reducir efectivamente la matriz a una matriz de 3x3.
Para la fuente actual dependiente, podría considerar poner \ $ + 3 \ cdot v_1 \ $ en el vector del lado derecho (que es lo que siempre hace con una fuente de corriente independiente). Luego puede llevarlo hacia el lado izquierdo, lo que hace que sea \ $ - 3 \ cdot v_1 \ $. Esto tiene que estar en la misma ecuación actual, por lo que la misma fila de la matriz. Y se multiplica por \ $ v_1 \ $, por lo que \ $ - 3 \ $ se inserta en la primera columna (\ $ v_1 \ columna '' s).
Usando su notación:
\ $ \ begin {bmatrix} \ frac {1} {R_2} + (C_1 + C_2) \ frac {d} {dt} & -C_2 \ frac {d} {dt} & & 0 \\ -3-C_2 \ frac {d} {dt} & & \ frac {1} {R_3} + C_2 \ frac {d} {dt} + \ frac {1} {L_1} \ int \ dt & & - \ frac {1} {L_1} \ int \ dt \\ 0 & & - \ frac {1} {L_1} \ int \ dt & & \ frac {1} {R_4} + \ frac {1} {L_1} \ int \ dt \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ frac {v_s} {R_2} \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix} \ $
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También noté algunas mejoras adicionales en tu trabajo. Por un lado, las corrientes \ $ i_2, i_3, i_4 \ $ no deberían estar allí. Tendrán que ser cero para satisfacer la ley de Kirchoff. Solo las fuentes independientes terminan en el lado derecho.
En segundo lugar, si desea utilizar una fuente de voltaje ideal en el análisis nodal sin reducir la complejidad, debe ir al llamado "Análisis nodal modificado" (MNA). En MNA, generalmente se agregan ecuaciones que no son necesariamente una ecuación de ley KCL. Sin embargo, si agrega una ecuación y aún desea mantener el circuito solucionable, también debe agregar una incógnita (normalmente la corriente). Entonces obtendrás una matriz de 5x5, en lugar de un 4x4. Para una fuente de voltaje, MNA dará
\ $ v_1 = v_s \ $, la ecuación que corrige el voltaje.
\ $ i_ {v_s} \ $, la corriente a través de \ $ v_s \ $ se agrega como un desconocido. Esta corriente se agrega a v1. Si no se agrega una corriente desconocida, entonces el circuito se volvería insoluble.
\ $ \ begin {bmatrix} \ frac {1} {R_2} & & - \ frac {1} {R_2} & & 0 & & 0 & & 1 \\ - \ frac {1} {R_2} & & \ frac {1} {R_2} + (C_1 + C_2) \ frac {d} {dt} & & -C_2 \ frac {d} {dt} & & 0 & & 0 \\ 0 & & -3-C_2 \ frac {d} {dt} & & \ frac {1} {R_3} + C_2 \ frac {d} {dt} + \ frac {1} {L_1} \ int \ & - amp; - \ frac {1} {L_1} \ int \ dt & & 0 \\ 0 & & 0 & & - \ frac {1} {L_2} \ int \ dt & & \ frac {1} {R_4} + \ frac {1} {L_1} \ int \ dt & & 0 \\ 1 & & 0 & & 0 & & 0 & & 0 \\ \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \\ i_ {v_s} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ v_s \ end {bmatrix} \ $
Como puede ver, la matriz se hace más grande rápidamente. Por lo tanto, siempre se prefiere reducir la complejidad del circuito. Este método se utiliza generalmente en simuladores de circuito. Supongo que a una computadora no le importa mucho una ecuación adicional.
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