¿Es posible encontrar una expresión de forma cerrada para la resistencia entre A y B para la red de escalera general de n secciones, a continuación, donde todas las resistencias son \ $ \ pequeñas 1 \ Omega \ $? Una expresión iterativa es bastante fácil de derivar (\ $ \ small R_n = 2 + 1 // R_ {n-1}) \ $
Por inspección, el valor máximo posible de resistencia es \ $ \ small3 \ Omega \ $ (para \ $ \ small n = 1 \ $), y para \ $ \ small n > 1 \ $ la resistencia debe ser \ $ \ small > 2 \ Omega \ $, por lo tanto, \ $ \ small 2 < R_n \ le 3 \ $
Calculando los valores de resistencia efectiva, \ $ \ small R_n \ $, para \ $ \ small n = 1, \: 2, \: 3, \: 4, \: 5, \: 6 \: ... \ $ da:
$$ \ small [3, \: 2 \ frac {3} {4}, \: 2 \ frac {11} {15}, \: 2 \ frac {41} {56}, \: 2 \ frac {153} {209}, \: 2 \ frac {571} {780} \: ...] $$
Inicialmente considerando solo las partes fraccionarias, y observando que \ $ \ small 3 = 2 \ frac {1} {1} \ $, podemos escribir la secuencia: $$ \ small [1, \: 1, \: 3, \: 4, \: 11, \: 15, \: 41, \: 56, \: 153, \: 209, \: 571, \: 780 \: ...] $$
Buscando en un catálogo de funciones generadoras de transformadas z para esta secuencia en particular ( enlace ) da:
$$ \ small F (z) = \ frac {z ^ 2 + z-1} {z ^ 4-4z ^ 2 + 1} $$
El denominador se factoriza en una forma muy conveniente (¡qué suerte!), y la función de generación se puede expresar en fracciones parciales como:
$$ \ small F (z) = \ frac {A} {za} + \ frac {B} {z + a} + \ frac {C} {zb} + \ frac {D} {z + b } $$
donde las constantes: a, b, A, B, C, D son:
\ $ \ small a = \ sqrt {2+ \ sqrt3} \ $,
\ $ \ small b = \ sqrt {2- \ sqrt3} \ $,
\ $ \ small A = \ frac {a ^ 2 + a-1} {2a (a ^ 2-b ^ 2)} \ $,
\ $ \ small B = \ frac {a ^ 2-a-1} {2a (b ^ 2-a ^ 2)} \ $,
\ $ \ small C = \ frac {b ^ 2 + b-1} {2b (b ^ 2-a ^ 2)} \ $,
\ $ \ small D = \ frac {b ^ 2-b-1} {2b (a ^ 2-b ^ 2)} \ $
La transformación z inversa \ $ \ small F (z) \ $ da la expresión de forma cerrada para la secuencia:
$$ \ small f (k) = A (a) ^ k + B (-a) ^ k + C (b) ^ k + D (-b) ^ k $$
El valor de resistencia, \ $ \ small R_n \ $, para n secciones ahora se puede obtener al evaluar la última ecuación con \ $ \ small k = 2n \ $ y \ $ \ small k = 2n-1 \ $, para formar el denominador y numerador de la parte fraccionaria de \ $ \ small R_n \ $; y luego agregando \ $ \ small 2 \ Omega \ $:
$$ \ small R_n = 2+ \ frac {A (a) ^ {2n-1} + B (-a) ^ {2n-1} + C (b) ^ {2n-1} + D ( -b) ^ {2n-1}} {A (a) ^ {2n} + B (-a) ^ {2n} + C (b) ^ {2n} + D (-b) ^ {2n}} $ $
Esta es la expresión de forma cerrada requerida.
Puedes resolver esto asumiendo que la serie converge. Si esto es cierto, entonces agregar una sección más hace un cambio infinitesimal en el resultado. Por lo tanto, el valor al que están convergiendo debe satisfacer:
$$ X = 2 + \ frac {1} {1 + \ frac {1} {X}} $$
Resolver para X da \ $ 1 \ pm \ sqrt {3} \ $. Dado que solo un resultado positivo tiene sentido, el valor es 2.7320508 ...
Pero esa no es la pregunta que realmente hiciste. Me temo que mis habilidades matemáticas no están a la altura de conseguir una solución de formulario cerrado para un número de secciones finito . Solo trabajando en los primeros pasos da:
Los números no parecen formar una serie de potencias, por lo que probablemente exista un exponencial ...
Grandes respuestas. Usted podría preguntarse cómo Mathematica es capaz de encontrar la respuesta. Tenemos $$ R_ {n + 1} = 2 + (1 \; \ | \; R_n), \; \ text {con} R_0 = 3 $$ o $$ R_ {n + 1} = 2 + \ frac {1} {1 + \ frac {1} {R_n}} = 2 + \ frac {R_n} {R_n + 1} = 2 + \ frac {R_n + 1 -1} {R_n + 1} = 3- \ frac {1} {R_n + 1}, $$ Veamos la secuencia \ $ x_n = R_n + 1 \ $, para obtener un divisor adecuado: $$ x_ {n + 1} = R_ {n + 1} + 1 = 4 - \ frac {1} {R_n + 1} = 4 - \ frac {1} {x_n} $$ Es decir: $$ \ {x_n \} _ 0 ^ \ infty = \ left \ {4, \; 4- \ frac {1} {4}, \; 4- \ frac {4} {15}, \; \ ldots \ right \} $$ El truco ahora es definir otra secuencia. $$ y_ {n + 1} = y_ {n} x_ {n}, \ qquad y_0 = 1, $$ Entonces $$ \ frac {y_ {n + 2}} {y_ {n + 1}} = x_ {n + 1} = 4 - \ frac {1} {x_n} = 4 - \ frac {y_n} {y_ {n +1}}, $$ Lo que da $$ y_ {n + 2} - 4y_ {n + 1} + y_n = 0 $$ Esta recurrencia lineal puede resolverse mediante técnicas estándar. Su ecuación característica (\ $ z ^ 2-4z + 1 = 0 \ $), tiene ceros \ $ z_ {1,2} = 2 \ pm \ sqrt {3}, \ $ para que la recurrencia se pueda escribir $$ y_n = A (2- \ sqrt {3}) ^ n + B (2+ \ sqrt {3}) ^ n, $$ para algunos \ $ A \ $ y \ $ B \ $. Al conectar \ $ y_0 = 1 \ $ se obtiene \ $ B = 1-A \ $. Desde \ $ y_1 = y_0 x_0 = 4 \ $ obtenemos $$ 4 = A (2- \ sqrt {3}) + (1-A) (2+ \ sqrt {3}) \\ A = \ frac {1} {2} - \ frac {1} {3} \ sqrt {3} $$
Finalmente, obtenemos la solución de formulario cerrado de $$ R_n = x_n - 1 = \ frac {y_ {n + 1} -y_n} {y_n} = \ frac {A (1- \ sqrt {3}) (2- \ sqrt {3}) ^ n + B (1+ \ sqrt {3}) (2+ \ sqrt {3}) ^ n} {A (2- \ sqrt {3}) ^ n + B (2+ \ sqrt {3}) ^ n} $$
Lea otras preguntas en las etiquetas circuit-analysis resistor-ladder